Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado, na direção do vetor v :
f(x, y, z)=x e^y+y e^z+z e^x, P=(0,0,0), v=(3,0,-2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x e^y+y e^z+z e^x
o ponto P=(0,0,0) e o vetor de direção vec v=(3,0,-2).
Queremos a derivada direcional de f em P na direção de vec v.
Para isso, vamos usar o vetor gradiente de f e projetá-lo sobre o versor na direção de vec v.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f pelas derivadas parciais:
nabla f(x,y,z) = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)
Derivando cada componente, temos
partial fpartial x = e^y + z,e^x, partial fpartial y = x,e^y + e^z, partial fpartial z = y,e^z + e^x

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(0,0,0), lembrando que e^0=1:
nabla f(0,0,0) = l(e^0+0,,0+e^0,,0+e^0r) = (1,1,1)

Passo 4

Precisamos do versor vec u na direção de vec v=(3,0,-2). Primeiro calculamos
|vec v| = raiz3^2+0^2+(-2)^2 = raiz9+4 = raiz13
Assim,
vec u = vec v|vec v| = l(3raiz13,,0,,-2raiz13r)

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção vec v é o produto escalar
Dvec vf(P) = nabla f(0,0,0)cdot vec u = (1,1,1)cdotl(tfrac3raiz13,0,-tfrac2raiz13r) = 3 + 0 - 2raiz13 = 1raiz13

Resposta

1raiz13

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