Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor unitário u :
f(x, y, z)=z^2+y^2+x^2, P=(-1,2,1), u=(1raiz3,-1raiz3, 1raiz3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
no ponto P=(-1,2,1) na direção do vetor unitário
u=l(tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r).
Vamos usar a definição
Duf(P)=nabla f(P)cdotu

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Como cada componente é a derivada parcial, temos
nabla f(x,y,z)=l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial y,,tfracpartial fpartial zr) =l(2x,,2y,,2zr)

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(-1,2,1):
nabla f(P)=l(2cdot(-1),,2cdot2,,2cdot1r)=(-2,,4,,2)

Passo 4

Fazer o produto escalar nabla f(P)cdotu:
(-2,4,2)cdotl(tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) =-2cdot1 + 4cdot(-1) + 2cdot1raiz3 =-2-4+2raiz3 =-4raiz3

Resposta

Duf(P)=-4raiz3

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