Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado, na direção do vetor v :
f(x, y, z)=2 x+3 y-z^2, P=(0,1,1), v=(1,1,-2).
*Dica: Verifique se o vetor v é unitário.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=2x+3y-z^2 no ponto P=(0,1,1) na direção do vetor vec v=(1,1,-2).
O conteúdo usado será o gradiente de f e a definição da derivada direcional
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u,
onde vec u é o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f encontrando as derivadas parciais:
partial fpartial x=2, partial fpartial y=3, partial fpartial z=-2z
Logo,
nabla f(x,y,z)=(2,,3,,-2z)

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P=(0,1,1):
nabla f(0,1,1)=(2,,3,,-2cdot1)=(2,,3,,-2)

Passo 4

Calculamos a norma de vec v:
|vec v|=raiz1^2+1^2+(-2)^2=raiz6
Como |vec v|neq1, definimos o vetor unitário
vec u=vec v|vec v|=l(tfrac1raiz6,,tfrac1raiz6,,-tfrac2raiz6r)

Passo 5

Aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Dvec uf(P) =nabla f(0,1,1)cdotvec u =(2,,3,,-2)cdotl(tfrac1raiz6,,tfrac1raiz6,,-tfrac2raiz6r)
Fazendo o produto escalar:
Dvec uf(P) =2cdot1+3cdot1+(-2)cdot(-2)raiz6 =2+3+4raiz6 =9raiz6 =3raiz62

Resposta

Dvec vf(P)=9raiz6=3raiz62

Exercícios relacionados