Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor unitário u :
f(x, y, z)=2+x+y+z, P=(3,1,4), u=(1raiz2, 0, 1raiz2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=2+x+y+z
no ponto P=(3,1,4)
na direção do vetor unitário
u=l(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r).
O conteúdo é derivada direcional, que usa o gradiente de f.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f, que é o vetor das derivadas parciais:
nabla f(x,y,z) =l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr) =(1,1,1)
Como f é linear, esse gradiente é constante e vale (1,1,1) em todo ponto, inclusive em P.

Passo 3

A derivada direcional de f em P na direção u é
Duf(P) =nabla f(P)cdot u
Fazendo o produto escalar,
Duf(P) =(1,1,1)cdotl(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r) =1raiz2+0+1raiz2 =2raiz2 =raiz2

Resposta

raiz2

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