Seja f uma função real de duas ou três variáveis reais diferenciável. Determine em qual direção ocorre a taxa de variação máxima de f no ponto P. Qual é essa taxa de variação máxima?

Passo 1

O enunciado considera uma função diferenciável fcolon R^ntoR (com n=2 ou 3) e um ponto P. Queremos achar a direção em que a derivada direcional de f em P é máxima e qual é esse valor máximo. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u é
Duf(P);=;nabla f(P)cdot u,
onde nabla f(P) é o vetor gradiente de f em P e u satisfaz |u|=1.

Passo 3

Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, temos
nabla f(P)cdot u;<=;|nabla f(P)|,|u| ;=;|nabla f(P)|
A igualdade ocorre exatamente quando u é paralelo a nabla f(P), isto é,
u=nabla f(P)|nabla f(P)|

Passo 4

Portanto, a derivada direcional de f em P atinge seu valor máximo quando u aponta na direção do gradiente nabla f(P).

Resposta

A direção de variação máxima em P é
u=nabla f(P)|nabla f(P)|,
e a taxa de variação máxima é
|nabla f(P)|

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