Seja
uma função real de duas ou três variáveis reais diferenciável. Determine em qual direção ocorre a taxa de variação máxima de
no ponto
. Qual é essa taxa de variação máxima?
Passo 1
O enunciado considera uma função diferenciável
(com
ou
) e um ponto
. Queremos achar a direção em que a derivada direcional de
em
é máxima e qual é esse valor máximo. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional.
Passo 2
A derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
é
onde
é o vetor gradiente de
em
e
satisfaz
.
Passo 3
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, temos
A igualdade ocorre exatamente quando
é paralelo a
, isto é,
Passo 4
Portanto, a derivada direcional de
em
atinge seu valor máximo quando
aponta na direção do gradiente
.
Resposta
A direção de variação máxima em
é
e a taxa de variação máxima é