Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor v.
f(x, y)=1+2 x y, P(3,4), v=(4,-3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=1+2xy
no ponto P=(3,4) na direção do vetor v=(4,-3).
Para isso a gente vai precisar de duas coisas: o gradiente de f em P e o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x.
Então o gradiente é
\nabla f(x,y) = (2y,\;2x).
Em P=(3,4) isso vira
\nabla f(3,4) = (2\cdot 4,\;2\cdot 3) = (8,6).

Passo 3

Agora normalizamos v=(4,-3). O comprimento de v é
\lVert v\rVert = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9}=5.
Logo o vetor unitário é
u = \frac{v}{\lVert v\rVert} = \Bigl(\frac{4}{5},\;-\frac{3}{5}\Bigr).

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção de v é o produto escalar
D_vf(3,4) = \nabla f(3,4)\cdot u = (8,6)\cdot \Bigl(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\Bigr) = \frac{8\cdot 4 + 6\cdot(-3)}{5} = \frac{32 - 18}{5} = \frac{14}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{5}

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