Resolca as equações diferenciais ou os problemas de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{t e^{t}}{y \sqrt{1+y^{2}}} y(0)=2 \mathrm{R}

Passo 1

O enunciado é o problema de valor inicial
\frac{dy}{dt} = \frac{t e^{t}}{y\sqrt{1+y^{2}}},\quad y(0)=2.
O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis: vamos escrever todos os termos em y de um lado e os termos em t do outro, e depois integrar cada lado.

Passo 2

Separemos as variáveis. Multiplicando ambos os lados por y\sqrt{1+y^{2}}\,dt, obtemos
y\sqrt{1+y^{2}}\,dy = t e^{t}\,dt.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int y\sqrt{1+y^{2}}\,dy = \int t e^{t}\,dt.
Para o lado esquerdo, fazemos u = 1+y^{2}, então du = 2y\,dy e
\int y\sqrt{1+y^{2}}\,dy = \frac12\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}u^{3/2} = \frac{1}{3}(1+y^{2})^{3/2}.
Para o lado direito, por partes com u=t, dv=e^{t}dt, temos
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C.
Logo a integral geral dá
\frac{1}{3}(1+y^{2})^{3/2} = t e^{t} - e^{t} + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo t=0, y=2:
\frac{1}{3}(1+2^{2})^{3/2} = \frac{1}{3}\cdot5^{3/2} = \frac{5\sqrt5}{3},
enquanto o lado direito é
0\cdot e^{0} - e^{0} + C = -1 + C.
Igualando, -1 + C = \frac{5\sqrt5}{3}, logo
C = \frac{5\sqrt5}{3} + 1.
Substituindo em \frac{1}{3}(1+y^{2})^{3/2} = t e^{t} - e^{t} + C e multiplicando por 3:
(1+y^{2})^{3/2} = 3te^{t} - 3e^{t} + 3 + 5\sqrt5.

Passo 5

Isolamos y. Primeiro elevamos tudo a 2/3:
1+y^{2} = \bigl(3e^{t}(t-1) + 3 + 5\sqrt5\bigr)^{2/3}.
Então
y^{2} = \bigl(3e^{t}(t-1) + 3 + 5\sqrt5\bigr)^{2/3} - 1.
Como y(0)=2>0, escolhemos a raiz positiva:
y(t) = \sqrt{\bigl(3e^{t}(t-1) + 3 + 5\sqrt5\bigr)^{2/3} - 1}.

Resposta

\boxed{y(t) = \sqrt{\bigl(3e^{t}(t-1) + 3 + 5\sqrt5\bigr)^{2/3} - 1}.}

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