Seja
uma função real de duas ou três variáveis reais diferenciável. Determine em qual direção ocorre a taxa de variação mínima de
no ponto
. Qual é essa taxa de variação mínima?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, num ponto
, a direção na qual a derivada direcional de uma função diferenciável
de duas ou três variáveis é mínima, e qual é esse valor mínimo. Vamos usar o conceito de derivada direcional e o gradiente de
.
Passo 2
Lembremos que, para um vetor unitário
, a derivada direcional de
em
na direção
é
Aqui
é o vetor gradiente em
.
Passo 3
Pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
já que
. A igualdade ocorre exatamente quando
é paralelo a
.
Passo 4
Portanto a derivada direcional atinge seu valor mínimo quando
aponta na direção oposta ao gradiente, isto é,
e o valor mínimo da derivada direcional é
Resposta
Direção de variação mínima:
Taxa de variação mínima:
Taxa de variação mínima: