Seja f uma função real de duas ou três variáveis reais diferenciável. Determine em qual direção ocorre a taxa de variação mínima de f no ponto P. Qual é essa taxa de variação mínima?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, num ponto P, a direção na qual a derivada direcional de uma função diferenciável f de duas ou três variáveis é mínima, e qual é esse valor mínimo. Vamos usar o conceito de derivada direcional e o gradiente de f.

Passo 2

Lembremos que, para um vetor unitário u, a derivada direcional de f em P na direção u é
Duf(P)=nabla f(P)cdot u
Aqui nabla f(P) é o vetor gradiente em P.

Passo 3

Pelo Desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
nabla f(P)cdot u>= -|nabla f(P)|;|u|=-|nabla f(P)|,
já que |u|=1. A igualdade ocorre exatamente quando u é paralelo a -nabla f(P).

Passo 4

Portanto a derivada direcional atinge seu valor mínimo quando u aponta na direção oposta ao gradiente, isto é,
umin=-nabla f(P)|nabla f(P)|,
e o valor mínimo da derivada direcional é
Duminf(P)=-|nabla f(P)|

Resposta

Direção de variação mínima: -nabla f(P)|nabla f(P)|
Taxa de variação mínima: -|nabla f(P)|

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