Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado, na direção do vetor v :
f(x, y)=ln y^2+x^2, P=(2,1), v=(-1,2).
*Dica: Verifique se o vetor v é unitário.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=ln y^2+x^2
no ponto P=(2,1) na direção do vetor vec v=(-1,2).
O que precisamos:
  1. Saber que a derivada direcional em direção a um vetor unitário vec u é Dvec uf(P)=nabla f(P)cdot vec u
  2. Calcular o gradiente nabla f.
  3. Normalizar vec v para obter o vetor unitário vec u.
  4. Fazer o produto escalar nabla f(P)cdot vec u.

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas parciais de f.
partial fpartial x = partialpartial xl(ln y^2+x^2r) = 2x,
partial fpartial y = partialpartial yl(ln y^2+x^2r) = 1y^2cdot 2y = 2y

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(2,1):
nabla f(x,y)=(2x,;2/y) ;Longrightarrow; nabla f(2,1)=(2cdot 2,;2/1)=(4,2)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário vec u na direção de vec v=(-1,2).
Primeiro o módulo de vec v:
|vec v|=raiz(-1)^2+2^2=raiz1+4=raiz5
Logo
vec u=vec v|vec v| =l(-tfrac1raiz5,;tfrac2raiz5r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é
Dvec uf(2,1) =nabla f(2,1)cdot vec u = (4,2)cdotl(-tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r) = -4+4raiz5 = 0

Resposta

A derivada direcional de f em P na direção de vec v é 0.

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