Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado, na direção do vetor v :
f(x, y, z)=x e^y+y e^z+z e^x, P=(0,0,0), v=(3,0,-2).
*Dica: Verifique se o vetor v é unitário.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=x e^y+y e^z+z e^x no ponto P=(0,0,0) na direção do vetor vec v=(3,0,-2).
Conteúdo: derivada direcional em cálculo de várias variáveis. Precisamos (1) verificar se vec v é unitário, (2) calcular o gradiente de f e (3) aplicar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro normalizamos vec v. A norma é
|vec v| = raiz3^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz9 + 4 = raiz13
Logo o vetor unitário é
vec u = vec v|vec v| = l(3raiz13,,0,,-2raiz13r)

Passo 3

Agora calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y,z) = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr) = l(e^y + z e^x,;x e^y + e^z,;y e^z + e^xr)
Em P=(0,0,0) temos e^0=1 e x=y=z=0, então
nabla f(0,0,0) = (1+0,;0+1,;0+1) = (1,1,1)

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção de vec u é
Dvec uf(0,0,0) = nabla f(0,0,0)cdot vec u = (1,1,1)cdotl(tfrac3raiz13,,0,,-tfrac2raiz13r) = 3 - 2raiz13 = 1raiz13

Resposta

1raiz13

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