Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor . ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar o gradiente da função e como usar o vetor direção corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto é a taxa de variação da função nessa direção específica. Para encontrar isso, precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado.
Passo 3
O gradiente de , denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Vamos calcular essas derivadas.
A função é .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Agora, precisamos usar o vetor direção . Para calcular a derivada direcional, é importante que o vetor direção seja um vetor unitário (ou seja, de comprimento 1). Vamos normalizar .
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Agora, o vetor unitário na direção de é:
Passo 6
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de e o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .