Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. g(r, s) = tg^(-1)(r * s), (1,2), v = 5i + 10j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar o gradiente da função e como usar o vetor direção corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto é a taxa de variação da função nessa direção específica. Para encontrar isso, precisamos calcular o gradiente da função no ponto dado.

Passo 3

O gradiente de , denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Vamos calcular essas derivadas.
A função é .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, precisamos usar o vetor direção . Para calcular a derivada direcional, é importante que o vetor direção seja um vetor unitário (ou seja, de comprimento 1). Vamos normalizar .
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Agora, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de e o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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