Suponha que todas as funções dadas sejam diferenciáveis. Se z=f(x-y), mostre que partial zpartial x+partial zpartial y=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e todas as funções envolvidas são diferenciáveis, ou seja, podemos calcular suas derivadas. O objetivo é mostrar que a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a zero. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = f'(x - y) cdot partial (x - y)partial x em relação a partial zpartial x = f'(x - y) cdot 1 = f'(x - y) , que é denotada por . Como é uma função de , aplicamos a regra da cadeia:
Agora, calculamos , que é simplesmente 1, já que a derivada de em relação a é 1 e a derivada de em relação a é 0.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = f'(x - y) cdot partial (x - y)partial y em relação a partial zpartial y = f'(x - y) cdot (-1) = -f'(x - y) , . Novamente, usando a regra da cadeia:
Calculando , temos que a derivada de em relação a é 0 e a derivada de em relação a é -1.
Portanto:

Passo 4

Agora que temos as duas derivadas parciais, vamos somá-las:
partial zpartial x + partial zpartial y = f'(x - y) + (-f'(x - y)) = 0

Resposta

partial zpartial x + partial zpartial y = 0

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