Suponha que todas as funções dadas sejam diferenciáveis. Se
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e todas as funções envolvidas são diferenciáveis, ou seja, podemos calcular suas derivadas. O objetivo é mostrar que a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
é igual a zero. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada parcial e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Como
é uma função de
, aplicamos a regra da cadeia:
Agora, calculamos
, que é simplesmente 1, já que a derivada de
em relação a
é 1 e a derivada de
em relação a
é 0.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Novamente, usando a regra da cadeia:
Calculando
, temos que a derivada de
em relação a
é 0 e a derivada de
em relação a
é -1.
Portanto:
Passo 4
Agora que temos as duas derivadas parciais, vamos somá-las: