Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
(a) f(x, y)=e^x sen y, (0, pi), v=(-6,8)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=e^xsen y no ponto (0,pi) na direção do vetor v=(-6,8).
Conteúdo: derivada direcional usando o gradiente. Para resolver, vamos calcular
  1. o gradiente nabla f,
  2. avaliá-lo em (0,pi),
  3. obter o vetor unitário na direção de v,
  4. fazer o produto escalar entre nabla f(0,pi) e esse vetor unitário.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Temos
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(e^xsen yr) =e^xsen y,
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(e^xsen yr) =e^xcos y
Logo,
nabla f(x,y) =l(e^xsen y,;e^xcos yr)

Passo 3

Avaliar nabla f em (0,pi). Como e^0=1, senpi=0 e cospi=-1, segue
nabla f(0,pi) =(1cdot0,;1cdot(-1)) =(0,,-1)

Passo 4

Encontrar o vetor unitário u na direção de v=(-6,8). Primeiro o módulo:
|v| =raiz(-6)^2+8^2 =raiz36+64 =10
Então
u =v|v| =l(-610,810r) =l(-tfrac35,tfrac45r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional como
Duf(0,pi) =nabla f(0,pi)cdotu =(0,,-1)cdotl(-tfrac35,tfrac45r) =0cdotl(-tfrac35r)+(-1)cdotl(tfrac45r) =-tfrac45

Resposta

A derivada direcional de f em (0,pi) na direção de v é -tfrac45.

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