Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D f(x, y) = x^2 - 2 x y + 2 y, onde D = {(x, y) pertence a R^2 | 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 2}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no conjunto . Isso envolve conhecimento de cálculo multivariável, especialmente sobre como encontrar extremos absolutos em uma região fechada e limitada. Vamos precisar usar derivadas parciais e verificar os pontos críticos dentro da região, além de avaliar a função nas bordas e cantos do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Resolvendo a equação (2) para :
Agora, substituímos na equação (1):
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do domínio . Como e , o ponto está dentro de .

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:

Passo 6

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função nas bordas do domínio . As bordas são onde ou assumem os valores extremos:
  1. Borda : varia de 0 a 2.
    Esta é uma função linear em . Nos extremos:
  2. Borda : varia de 0 a 2.
    Também linear em . Nos extremos:
  3. Borda : varia de 0 a 3.
    Quadrática em . Nos extremos:
  4. Borda : varia de 0 a 3.
    Quadrática em . Para encontrar os extremos internos, podemos derivar:
    Igualando a zero:
    Então, . Nos extremos:

Passo 7

Agora, vamos listar todos os valores que encontramos:
  • Ponto crítico interno:
  • Bordas:

Passo 8

Comparando todos esses valores, podemos identificar o máximo e o mínimo absolutos:
  • Máximo absoluto: no ponto
  • Mínimo absoluto: nos pontos e

Resposta

O valor máximo absoluto de no conjunto é no ponto e o valor mínimo absoluto é nos pontos e .

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