Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
. Isso envolve conhecimento de cálculo multivariável, especialmente sobre como encontrar extremos absolutos em uma região fechada e limitada. Vamos precisar usar derivadas parciais e verificar os pontos críticos dentro da região, além de avaliar a função nas bordas e cantos do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Resolvendo a equação (2) para
:
Agora, substituímos
na equação (1):
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do domínio
. Como
e
, o ponto
está dentro de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função
nesse ponto crítico:
Passo 6
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função nas bordas do domínio
. As bordas são onde
ou
assumem os valores extremos:
-
Borda
: varia de 0 a 2. Esta é uma função linear em. Nos extremos: -
Borda
: varia de 0 a 2. Também linear em. Nos extremos: -
Borda
: varia de 0 a 3. Quadrática em. Nos extremos: -
Borda
: varia de 0 a 3. Quadrática em. Para encontrar os extremos internos, podemos derivar: Igualando a zero:Então,. Nos extremos:
Passo 7
Agora, vamos listar todos os valores que encontramos:
- Ponto crítico interno:
- Bordas:
-
Passo 8
Comparando todos esses valores, podemos identificar o máximo e o mínimo absolutos:
- Máximo absoluto:
no ponto - Mínimo absoluto:
nos pontos e
Resposta
O valor máximo absoluto de
no conjunto
é
no ponto
e o valor mínimo absoluto é
nos pontos
e
.