Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor unitário u :
f(x, y)=2 x+x^2 y, P=(3,2), u=(1raiz2, 1raiz2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=2x + x^2 y no ponto P=(3,2) na direção do vetor unitário u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r). Para isso, vamos usar o fato de que a derivada direcional em P na direção u é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e u:
Duf(P)=nabla f(P)cdot u

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x(x,y) =2 + 2xy,
e a derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y(x,y) =x^2
Logo o gradiente de f é
nabla f(x,y) =l(2 + 2xy,,,x^2r)
Avaliando em P=(3,2) temos
nabla f(3,2) =l(2 + 2cdot3cdot2,;3^2r) =(14,,9)

Passo 3

Agora basta fazer o produto escalar de nabla f(3,2)=(14,9) com u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r):
Duf(3,2) =(14,9)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =14raiz2+9raiz2 =23raiz2

Resposta

Duf(3,2)=23raiz2

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