Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor unitário u :
f(x, y)=x e^y+y e^x, P=(0,0), u=(2raiz5, 1raiz5).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x e^y+y e^x
no ponto P=(0,0) na direção do vetor unitário
u=l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r).
Para isso vamos usar que
Duf(P)=nabla f(P)cdot u,
onde nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f.
partial fpartial x = e^y + y e^x,
partial fpartial y = x e^y + e^x

Passo 3

Avaliamo-las em P=(0,0). Como e^0=1 e x=y=0, temos
partial fpartial x(0,0)=1+0=1,
partial fpartial y(0,0)=0+1=1
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nabla f(0,0)=(1,1)

Passo 4

Fazemos o produto escalar com u:
Duf(0,0) =(1,1)cdotl(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r) =2raiz5+1raiz5 =3raiz5

Resposta

Duf(0,0)=3raiz5

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