Questão 5. a) Encontre a série de Maclaurin da função .
b) Encontre o raio e o intervalo de convergencia associado.
Passo 1
O enunciado pede para achar a série de Maclaurin de e, em seguida, determinar o raio de convergência e o intervalo em que essa série converge. Vamos usar expansão em série de potências do tipo Taylor centrada em , lembrando que a derivada de é e que podemos obter integrando .
Passo 2
Para vale a série geométrica
Essa expansão é válida estritamente quando .
Passo 3
Como
podemos integrar a série termo a termo:
Passo 4
Calculando a integral de cada termo, temos
logo
Reindexando com para começar a soma em , obtemos
Passo 5
Portanto a série de Maclaurin é
Passo 6
Para achar o raio de convergência , usemos o teste da razão sobre o termo geral :
A série converge se esse limite for <1, isto é |x|<1. Logo
R=1
Passo 7
Agora testamos os extremos ,x=1 e ,x=-1:
Em x=1 a série vira sumn=1^infty(-1)^,n-1/n, que é a série harmônica alternada e converge (teste de Leibniz).
Em x=-1 a série vira sumn=1^infty(-1)^,n-1(-1)^n/n=-sumn=1^infty1/n, que diverge.
Portanto o intervalo de convergência é -1<x<=1.
Resposta
a) ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^,n-1x^nn
b) Raio de convergência R=1; intervalo de convergência -1<x<=1.