Questão 5. (2,0) a) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=ln (x+1).
b) Encontre o raio e o intervalo de convergencia associado.

Passo 1

O enunciado pede para achar a série de Maclaurin de f(x)=ln(1+x) e, em seguida, determinar o raio de convergência e o intervalo em que essa série converge. Vamos usar expansão em série de potências do tipo Taylor centrada em 0, lembrando que a derivada de ln(1+x) é tfrac11+x e que podemos obter ln(1+x) integrando tfrac11+x.

Passo 2

Para |x|<1 vale a série geométrica
11+x ;=; sumn=0^infty(-1)^n,x^n
Essa expansão é válida estritamente quando |x|<1.

Passo 3

Como
ln(1+x)=integral0^x11+t,dt,
podemos integrar a série termo a termo:
ln(1+x) =integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^n,dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xt^n,dt

Passo 4

Calculando a integral de cada termo, temos
integral0^xt^n,dt=x^n+1n+1,
logo
ln(1+x) =sumn=0^infty(-1)^nx^n+1n+1
Reindexando com nmapsto n-1 para começar a soma em n=1, obtemos
ln(1+x) =sumn=1^infty(-1)^,n-1x^nn

Passo 5

Portanto a série de Maclaurin é
boxedln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^,n-1x^nn, |x|<1

Passo 6

Para achar o raio de convergência R, usemos o teste da razão sobre o termo geral an = (-1)^n-1tfracx^nn:
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinfty|x|1+tfrac1n =|x|
A série converge se esse limite for <1, isto é |x|<1. Logo
R=1

Passo 7

Agora testamos os extremos ,x=1 e ,x=-1:
  1. Em x=1 a série vira
    sumn=1^infty(-1)^,n-1/n, que é a série harmônica alternada e converge (teste de Leibniz).
  2. Em x=-1 a série vira
    sumn=1^infty(-1)^,n-1(-1)^n/n=-sumn=1^infty1/n, que diverge.
Portanto o intervalo de convergência é -1<x<=1.

Resposta

a) ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^,n-1x^nn
b) Raio de convergência R=1; intervalo de convergência -1<x<=1.

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