Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor unitário u :
f(x, y)=ln y^2+x^2, P=(-1,1), u=(-1,0).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=ln y^2+x^2 no ponto P=(-1,1) na direção do vetor unitário u=(-1,0). Para resolver, vamos usar que a derivada direcional em direção a u é o produto escalar entre nabla f(P) e u.

Passo 2

Verificamos se u é de norma unitária. Calculamos
|u| = raiz(-1)^2+0^2 = 1,
logo u já é unitário.

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = ddyln(y^2) = 2yy^2 = 2y
Portanto,
nabla f(x,y) = l(2x,tfrac2yr)

Passo 4

Avaliando nabla f em P=(-1,1), temos
nabla f(-1,1) = l(2cdot(-1),tfrac21r) = (-2,,2)

Passo 5

A derivada direcional é
Duf(P) = nabla f(P)cdot u = (-2,2)cdot(-1,0) = (-2)cdot(-1) + 2cdot 0 = 2

Resposta

2

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