Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
O gradiente da função, representado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso porque o gradiente aponta na direção de maior crescimento da função. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Passo 6
O próximo passo é encontrar o vetor unitário na direção de
. Para isso, vamos calcular a magnitude de
e dividir cada componente do vetor por essa magnitude.
Então, o vetor unitário
é:
Passo 7
Agora, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é
.