Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. g(p, q) = p^4 - p^2 * q^3, (2,1), v = i + 3j

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de .

Passo 2

O gradiente da função, representado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Isso porque o gradiente aponta na direção de maior crescimento da função. Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:

Passo 6

O próximo passo é encontrar o vetor unitário na direção de . Para isso, vamos calcular a magnitude de e dividir cada componente do vetor por essa magnitude.
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Agora, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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