O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de
enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de
. Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é
e a altura é
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um cone cujo raio está aumentando e a altura está diminuindo com certas taxas. A ideia é descobrir a que velocidade o volume desse cone está mudando nesse momento específico em que o raio é 300 cm e a altura é 350 cm. Vamos precisar usar cálculo, especificamente as taxas relacionadas, e a fórmula do volume do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. É bem direta:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Passo 3
Agora, queremos saber como o volume
está mudando ao longo do tempo, ou seja,
. Para isso, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Explicando:
-
é a taxa de variação do raio, -
é a taxa de variação da altura.
Passo 4
Vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula:
-
cm, -
cm, -
cm/s (aumentando), -
cm/s (diminuindo, por isso negativo).
Substituindo:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
-
Somando os dois termos:
-
Multiplicando pela constante:
Resposta
A taxa de variação do volume do cone nesse instante é
cm³/s.