O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 4,6 cm/s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 6,5 cm/s. Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 300 cm e a altura é 350 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um cone cujo raio está aumentando e a altura está diminuindo com certas taxas. A ideia é descobrir a que velocidade o volume desse cone está mudando nesse momento específico em que o raio é 300 cm e a altura é 350 cm. Vamos precisar usar cálculo, especificamente as taxas relacionadas, e a fórmula do volume do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cone. É bem direta:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura.

Passo 3

Agora, queremos saber como o volume está mudando ao longo do tempo, ou seja, . Para isso, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo . Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Explicando:
  • é a taxa de variação do raio,
  • é a taxa de variação da altura.

Passo 4

Vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula:
  • cm,
  • cm,
  • cm/s (aumentando),
  • cm/s (diminuindo, por isso negativo).
Substituindo:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Somando os dois termos:
  4. Multiplicando pela constante:

Resposta

A taxa de variação do volume do cone nesse instante é cm³/s.

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