Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando a Regra da Cadeia para derivadas parciais. A gente tem três funções interligadas:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
quando
,
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função composta em relação a uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
, então a derivada parcial de
em relação a, digamos,
é:
Vamos aplicar isso para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Além disso, precisamos das derivadas de
e
em relação a
,
e
:
Para
, temos:
Para
:
Passo 4
Da mesma forma, vamos encontrar as derivadas em relação a
:
E para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada derivada parcial de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
,
e
nas equações de
e
:
Passo 7
Com
e
, vamos calcular cada derivada:
Para
:
Para
:
Para
: