Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+v e^w; partial zpartial u, partial zpartial v, partial zpartial w quando u=2, v=1, w=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando a Regra da Cadeia para derivadas parciais. A gente tem três funções interligadas:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a , e quando , e . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função composta em relação a uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u depende de e , que por sua vez dependem de , e , então a derivada parcial de em relação a, digamos, é:
Vamos aplicar isso para cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x + y^3 :
partial zpartial y = 3x y^2
partial xpartial u = v^2
Além disso, precisamos das derivadas de partial ypartial u = 1 e em relação a , e :
Para , temos:
Para :

Passo 4

Da mesma forma, vamos encontrar as derivadas em relação a partial xpartial v = 2u v :
partial ypartial v = e^w
partial xpartial w = 3w^2
E para partial ypartial w = v e^w :

Passo 5

Agora, vamos calcular cada derivada parcial de partial zpartial u = (2x + y^3) cdot v^2 + 3x y^2 cdot 1 :
Para partial zpartial v = (2x + y^3) cdot 2u v + 3x y^2 cdot e^w :
partial zpartial w = (2x + y^3) cdot 3w^2 + 3x y^2 cdot v e^w
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos substituir x = (2)(1)^2 + (0)^3 = 2 + 0 = 2 , y = 2 + 1 cdot e^0 = 2 + 1 = 3 e nas equações de e :

Passo 7

Com partial zpartial u = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 1^2 + 3 cdot 2 cdot 3^2 = (4 + 27) cdot 1 + 6 cdot 9 = 31 + 54 = 85 e partial zpartial v = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 2 cdot 2 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 3^2 cdot e^0 = 31 cdot 2 + 54 cdot 1 = 62 + 54 = 116 , vamos calcular cada derivada:
Para partial zpartial w = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 3 cdot 0^2 + 3 cdot 2 cdot 3^2 cdot 1 cdot e^0 = 31 cdot 0 + 54 cdot 1 = 0 + 54 = 54 :
Para :
Para :

Resposta

partial zpartial u = 85, partial zpartial v = 116, partial zpartial w = 54

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