Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v, indicando se a função cresce, decresce ou se mantém constante nesta direção.
f(x, y, z) = x * e^y + y * e^z + z * e^x, (0, 0, 0), v = (5, 1, -2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial Multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e normalizar o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e a direção do vetor dado.

Passo 3

Vamos começar normalizando o vetor . Normalizar significa ajustar o vetor para que ele tenha comprimento 1, mantendo a mesma direção. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do comprimento do vetor.
A fórmula para normalizar um vetor é:
Onde é o comprimento do vetor, calculado por:
Ent��o, para :
Portanto, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:
Então,

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , , e :
Então,

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é . Como esse valor é positivo, isso indica que a função está crescendo nessa direção.

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