Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
, indicando se a função cresce, decresce ou se mantém constante nesta direção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial Multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e normalizar o vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e a direção do vetor dado.
Passo 3
Vamos começar normalizando o vetor
. Normalizar significa ajustar o vetor para que ele tenha comprimento 1, mantendo a mesma direção. Isso é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção, não do comprimento do vetor.
A fórmula para normalizar um vetor
é:
Onde
é o comprimento do vetor, calculado por:
Ent��o, para
:
Portanto, o vetor unitário
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:
Então,
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
, e
:
Então,
Passo 6
A derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é
. Como esse valor é positivo, isso indica que a função está crescendo nessa direção.