Resolva o problema de valor inicial
X^prime=(lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0) X, X(0)=(l1 2 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares da forma 1 2 5, onde é uma matriz . Nosso objetivo é encontrar a solução que satisfaz a condição inicial . Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, exponencial de matrizes e resolução de sistemas de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a matriz A = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 para facilitar nossa análise:
Observamos que essa matriz tem uma estrutura especial, o que pode simplificar nossos cálculos.

Passo 3

Para resolver o sistema X(t) = e^At X(0) , precisamos calcular a matriz exponencial . A solução geral do sistema é dada por:
Então, nosso próximo passo é encontrar .

Passo 4

A matriz exponencial e^At = I + At + (At)^22! + (At)^33! + cdots pode ser calculada através da série de Taylor:
onde é a matriz identidade. Contudo, calcular essa série diretamente pode ser trabalhoso para matrizes maiores. Uma estratégia mais eficiente é diagonalizar a matriz , se possível.

Passo 5

Vamos tentar diagonalizar a matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos encontrar os autovalores det -lambda & 0 & 1 0 & 1-lambda & 0 1 & 0 & -lambda = 0 de (-lambda)( (1-lambda)(-lambda) - 0 ) - 0 + 1(0 - (1-lambda)) = 0 resolvendo o determinante:
-lambda( -lambda + lambda^2 ) - (1 - lambda) = 0 lambda^2 - lambda^3 - 1 + lambda = 0 -lambda^3 + lambda^2 + lambda - 1 = 0 lambda^3 - lambda^2 - lambda + 1 = 0
Calculando o determinante:
(lambda - 1)(lambda^2 - 1) = 0 (lambda - 1)(lambda - 1)(lambda + 1) = 0
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Factorizando:
Portanto, os autovalores são (de multiplicidade 2) e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Primeiro, para -1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos - v1 + v3 = 0 :
1 0 1
Das duas primeiras equações, temos:
0 1 0
Isso implica que 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 . v1 + v3 = 0 2v2 = 0 é livre. Portanto, um autovetor para 1 0 -1 é .
Como tem multiplicidade 2, precisamos de outro autovetor linearmente independente. Suponhamos .
Para :
Resolvemos :
Das equações, temos:
Isso implica que e . Um autovetor para é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a matriz A = PDP^-1 diagonalizada:
P = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
onde e^At = Pe^DtP^-1 é a matriz cujas colunas são os autovetores , , , e é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Agora, a matriz exponencial pode ser escrita como:

Passo 8

Calculando e^Dt = e^1 cdot t & 0 & 0 0 & e^1 cdot t & 0 0 & 0 & e^-1 cdot t = e^t & 0 & 0 0 & e^t & 0 0 & 0 & e^-t , já que é diagonal, fica simples:

Passo 9

Agora, precisamos calcular P^-1 = 1det(P) adj(P) . Primeiro, encontramos det(P) = 1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 0) - 0 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1 - 0 -1 = -2 . Calculando a inversa da matriz P^-1 = 1-2 -1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 = 12 & 0 & 12 0 & 12 & 0 12 & 0 & -12 :
Calculando o determinante de :
Calculando a adjunta de e, portanto, :

Passo 10

Agora, multiplicamos as matrizes:
e^At = P e^Dt P^-1 = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 e^t & 0 & 0 0 & e^t & 0 0 & 0 & e^-t 12 & 0 & 12 0 & 12 & 0 12 & 0 & -12
Primeiro, multiplicamos P e^Dt = e^t & 0 & e^-t 0 & e^t & 0 e^t & 0 & -e^-t por e^At = e^t cdot 12 + e^-t cdot 12 & 0 & e^t cdot 12 + e^-t cdot (-12) 0 cdot 12 + 0 cdot 12 & e^t cdot 12 + 0 cdot 0 & 0 cdot 12 + 0 cdot (-12) e^t cdot 12 + (-e^-t) cdot 12 & 0 & e^t cdot 12 + (-e^-t) cdot (-12) :
e^At = e^t + e^-t2 & 0 & e^t - e^-t2 0 & e^t2 & 0 e^t - e^-t2 & 0 & e^t + e^-t2
Em seguida, multiplicamos esse resultado por cosh(t) = e^t + e^-t2 e sinh(t) = e^t - e^-t2 :
e^At = cosh(t) & 0 & sinh(t) 0 & e^t2 & 0 sinh(t) & 0 & cosh(t)
Simplificando:
Reconhecemos as funções hiperbólicas:
Portanto:

Passo 11

Agora, aplicamos a solução geral X(t) = cosh(t) & 0 & sinh(t) 0 & e^t2 & 0 sinh(t) & 0 & cosh(t) 1 2 5 :
X(t) = cosh(t) cdot 1 + 0 cdot 2 + sinh(t) cdot 5 0 cdot 1 + e^t2 cdot 2 + 0 cdot 5 sinh(t) cdot 1 + 0 cdot 2 + cosh(t) cdot 5 = cosh(t) + 5sinh(t) e^t sinh(t) + 5cosh(t)
Multiplicando as matrizes:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
X(t) = cosh(t) + 5sinh(t) e^t sinh(t) + 5cosh(t)

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