Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares da forma 1 2 5, onde é uma matriz . Nosso objetivo é encontrar a solução que satisfaz a condição inicial . Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, exponencial de matrizes e resolução de sistemas de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a matriz A = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 para facilitar nossa análise:
Observamos que essa matriz tem uma estrutura especial, o que pode simplificar nossos cálculos.
Passo 3
Para resolver o sistema X(t) = e^At X(0) , precisamos calcular a matriz exponencial . A solução geral do sistema é dada por:
Então, nosso próximo passo é encontrar .
Passo 4
A matriz exponencial e^At = I + At + (At)^22! + (At)^33! + cdots pode ser calculada através da série de Taylor:
onde é a matriz identidade. Contudo, calcular essa série diretamente pode ser trabalhoso para matrizes maiores. Uma estratégia mais eficiente é diagonalizar a matriz , se possível.
Passo 5
Vamos tentar diagonalizar a matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos encontrar os autovalores det -lambda & 0 & 1 0 & 1-lambda & 0 1 & 0 & -lambda = 0 de (-lambda)( (1-lambda)(-lambda) - 0 ) - 0 + 1(0 - (1-lambda)) = 0 resolvendo o determinante: