Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função com derivadas parciais conhecidas em relação a , e . Além disso, temos as expressões de , e em termos de e . Nosso objetivo é calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, , quando e . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de Regra da Cadeia em multivariáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada de em relação a pode ser obtida aplicando a Regra da Cadeia, já que depende de através de , e . A fórmula geral da Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis é:
Então, vamos identificar cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as derivadas de , e em relação a .
Para :
Para :
Para :
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos substituir e nas expressões das derivadas calculadas:
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, precisamos avaliar as derivadas parciais de x = 1^2 cdot 0 = 0 nas mesmas condições partial fpartial x = y + z = 0 + 1 = 1 e partial fpartial y = x + z = 0 + 1 = 1 . Para isso, primeiro encontramos partial fpartial z = x + y - 2 = 0 + 0 - 2 = -2 , e nesses valores:
Para :
**Para ( y = \ln\left(\frac{0+1}{1}\right) e = \ln(1) e = 0 \cdot e = 0
]