Seja f: R^3 R tal que partial fpartial x(x, y, z)=y+z, partial fpartial y(x, y, z)=x+z e partial fpartial z(x, y, z)=x+y-2. Suponha que x=t^2 s, y=ln (s+1t) e z=cos (s t) e^s t. Calcule partial fpartial t para s=0 e t=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função com derivadas parciais conhecidas em relação a , e . Além disso, temos as expressões de , e em termos de e . Nosso objetivo é calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, , quando e . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de Regra da Cadeia em multivariáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt + partial fpartial z cdot dzdt em relação a pode ser obtida aplicando a Regra da Cadeia, já que depende de através de , e . A fórmula geral da Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis é:
Então, vamos identificar cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas de dxdt = 2ts , dydt = ddt [ ln(s+1t) e ] = -1t e e dzdt = ddt [ cos(s t) ] e^s t + cos(s t) ddt [ e^s t ] = -s sin(s t) e^s t + s cos(s t) e^s t em relação a dzdt = s e^s t [ cos(s t) - sin(s t) ] .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
    Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos substituir dxdt|s=0, t=1 = 2 cdot 1 cdot 0 = 0 e dydt|s=0, t=1 = -11 e = -e nas expressões das derivadas calculadas:
  1. Para dzdt|s=0, t=1 = 0 cdot e^0 [ cos(0) - sin(0) ] = 0 :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, precisamos avaliar as derivadas parciais de x = 1^2 cdot 0 = 0 nas mesmas condições partial fpartial x = y + z = 0 + 1 = 1 e partial fpartial y = x + z = 0 + 1 = 1 . Para isso, primeiro encontramos partial fpartial z = x + y - 2 = 0 + 0 - 2 = -2 , e nesses valores:
  1. Para :
  1. **Para ( y = \ln\left(\frac{0+1}{1}\right) e = \ln(1) e = 0 \cdot e = 0
    ]
  2. **Para ( z = \cos(0 \cdot 1) e^{0 \cdot 1} = \cos(0) e^{0} = 1 \cdot 1 = 1
    ]
Agora, substituímos , , e nas derivadas parciais de :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia com todos os valores encontrados:
dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt + partial fpartial z cdot dzdt
dfdt = 1 cdot 0 + 1 cdot (-e) + (-2) cdot 0 = 0 - e + 0 = -e

Resposta

A derivada parcial de em relação a para e é .

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