Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor vec{v}.
g(s, t)=s^{2} t, \quad(2,0), \quad \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de g(s,t)=s^{2}t no ponto (2,0) na direção do vetor \vec v=\vec i+\vec j. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e o produto escalar com o vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g.
\frac{\partial g}{\partial s}(s,t)=2s\,t, \qquad \frac{\partial g}{\partial t}(s,t)=s^{2}.
Logo o gradiente é
\nabla g(s,t)=\bigl(2s\,t,\;s^{2}\bigr).

Passo 3

Avaliando o gradiente em (2,0) temos
\nabla g(2,0)=\bigl(2\cdot2\cdot0,\;2^{2}\bigr)=(0,4).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário \vec u na direção de \vec v=(1,1). Seu módulo é
\|\vec v\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},
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\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional de g em (2,0) na direção \vec u é o produto escalar
D_{\vec u}g(2,0)=\nabla g(2,0)\cdot\vec u =(0,4)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) =0\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}+4\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}} =\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.

Resposta

A derivada direcional é 2\sqrt{2}.

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