(a) Mostre que uma função diferenciável
decresce mais depressa em (
) na direção oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção
.
(b) Utilize a parte (a) para determinar a direção onde
decresce mais rápido no ponto
.
(b) Utilize a parte (a) para determinar a direção onde
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos mostrar que, para uma função diferenciável
, a direção em que
decresce mais rápido em
é a direção oposta ao vetor gradiente
. Na (b) vamos usar esse resultado para encontrar a direção de decrescimento mais rápido de
no ponto
.
Passo 2
Para qualquer vetor unitário
em
, o derivada direcional de
em
ao longo de
é
Seja
o ângulo entre
e
. Então
pois
.
Passo 3
Como
varia entre
e
, o menor valor de
(isto é, o decrescimento mais rápido) ocorre quando
, ou seja,
e
Isso prova a parte (a): a função decresce mais depressa na direção oposta à do gradiente.
Passo 4
Agora, para a parte (b), vamos calcular o gradiente de
As derivadas parciais são
Logo
Passo 5
No ponto
temos
Portanto
Passo 6
Pela parte (a), a direção de decrescimento mais rápido em
é
Podemos simplificar, dividindo por 4 em cima e embaixo:
Resposta
(a) A direção de decrescimento mais rápido em
é
(b) Para
em
, essa direção é