(a) Mostre que uma função diferenciável f decresce mais depressa em ( x_{0}, y_{0} ) na direção oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção -\nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right).
(b) Utilize a parte (a) para determinar a direção onde
f(x, y)=x^{4} y-x^{2} y^{3}
decresce mais rápido no ponto (2,-3).

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos mostrar que, para uma função diferenciável f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, a direção em que f decresce mais rápido em (x_0,y_0) é a direção oposta ao vetor gradiente \nabla f(x_0,y_0). Na (b) vamos usar esse resultado para encontrar a direção de decrescimento mais rápido de
f(x,y)=x^4y - x^2y^3
no ponto (2,-3).

Passo 2

Para qualquer vetor unitário u em \mathbb{R}^2, o derivada direcional de f em (x_0,y_0) ao longo de u é
D_u f(x_0,y_0) \;=\; \nabla f(x_0,y_0)\cdot u.
Seja \theta o ângulo entre \nabla f(x_0,y_0) e u. Então
\nabla f(x_0,y_0)\cdot u = \|\nabla f(x_0,y_0)\|\;\|u\|\;\cos\theta = \|\nabla f(x_0,y_0)\|\cos\theta,
pois \|u\|=1.

Passo 3

Como \cos\theta varia entre -1 e 1, o menor valor de D_u f (isto é, o decrescimento mais rápido) ocorre quando \cos\theta=-1, ou seja, \theta=\pi e
u = -\frac{\nabla f(x_0,y_0)}{\|\nabla f(x_0,y_0)\|}.
Isso prova a parte (a): a função decresce mais depressa na direção oposta à do gradiente.

Passo 4

Agora, para a parte (b), vamos calcular o gradiente de
f(x,y)=x^4y - x^2y^3.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3y \;-\; 2x\,y^3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^4 \;-\; 3x^2y^2.
Logo
\nabla f(x,y) = \bigl(4x^3y - 2xy^3,\;x^4 - 3x^2y^2\bigr).

Passo 5

No ponto (2,-3) temos
4\cdot2^3\cdot(-3) \;-\; 2\cdot2\cdot(-3)^3 = 4\cdot8\cdot(-3) \;-\; 4\cdot(-27) = -96 \;+\;108 = 12,
2^4 \;-\; 3\cdot2^2\cdot(-3)^2 = 16 \;-\; 3\cdot4\cdot9 = 16 \;-\;108 = -92.
Portanto
\nabla f(2,-3) = (12,\,-92).

Passo 6

Pela parte (a), a direção de decrescimento mais rápido em (2,-3) é
u = -\frac{\nabla f(2,-3)}{\|\nabla f(2,-3)\|} = -\frac{(12,\,-92)}{\sqrt{12^2 + (-92)^2}} = \frac{(-12,\,92)}{\sqrt{8608}}.
Podemos simplificar, dividindo por 4 em cima e embaixo:
u = \frac{(-3,\,23)}{\sqrt{538}}.

Resposta

(a) A direção de decrescimento mais rápido em (x_0,y_0) é
u = -\frac{\nabla f(x_0,y_0)}{\|\nabla f(x_0,y_0)\|}.
(b) Para f(x,y)=x^4y - x^2y^3 em (2,-3), essa direção é
u = \frac{(-3,\,23)}{\sqrt{538}}.

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