Suponha que uma lata cilíndrica seja desenhada para ter um raio de 1 pol e uma altura de 5 pol, mas o raio e a altura estão com erros de 0,03 e -0,1, respectivamente. Estime a variação absoluta resultante do volume da lata, usando diferenciais. Estime também um percentual de variação, usando a observação a seguir.

Passo 1

O enunciado nos dá uma lata cilíndrica com raio nominal r=1 pol e altura nominal h=5 pol, sujeitos a erros \Delta r=0,03 pol e \Delta h=-0,1 pol. Pede estimar a variação absoluta do volume V=\pi r^2h usando diferenciais e estimar também a variação percentual aproximada.

Passo 2

Para usar diferenciais, calculamos as derivadas parciais de V(r,h)=\pi r^2h:
\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi r h,
\frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^2.
Logo o diferencial total é
dV=\frac{\partial V}{\partial r}\,dr+\frac{\partial V}{\partial h}\,dh =2\pi r h\,dr+\pi r^2\,dh.

Passo 3

Substituindo r=1, h=5, dr=0,03 e dh=-0,1,
dV=2\pi\cdot1\cdot5\cdot0,03+\pi\cdot1^2\cdot(-0,1) =0,3\pi-0,1\pi=0,2\pi\quad\text{pol}^3.
Em valor numérico, 0,2\pi\approx0,628 pol ^3.

Passo 4

O volume nominal é V_0=\pi\cdot1^2\cdot5=5\pi pol ^3. A variação percentual aproximada é
\frac{dV}{V_0}=\frac{0,2\pi}{5\pi}=0,04,
ou seja, cerca de 4\%.

Resposta

A variação absoluta aproximada do volume é 0,2\pi pol ^3 (aprox. 0,628 pol ^3).
A variação percentual aproximada é 4\%.

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