Suponha que T seja encontrado a partir da fórmula T(x, y)=x\left(e^{y}+e^{-y}\right). Sabe-se que x e y são 2 e ln 2 com erros máximos possíveis de 0,1 e 0,02 , respectivamente. Calcule o erro máximo possível no valor computado de T.

Passo 1

O enunciado dá a função
T(x,y)=x\bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr)
com valores aproximados x=2 e y=\ln2, e erros máximos \Delta x=0,1 e \Delta y=0,02.
Queremos estimar o erro máximo em T usando a propagação de erros pelo diferencial total
dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial T}{\partial x} = e^{y}+e^{-y},
\frac{\partial T}{\partial y} = x\bigl(e^{y}-e^{-y}\bigr).

Passo 3

Avaliamo-las em x=2 e y=\ln2. Como
e^{\ln2}=2,\qquad e^{-\ln2}=\tfrac12,
temos
\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{(2,\ln2)} = 2 + \tfrac12 = 2,5,
\frac{\partial T}{\partial y}\Big|_{(2,\ln2)} = 2\bigl(2 - \tfrac12\bigr) = 3.

Passo 4

O erro máximo \Delta T satisfaz
\Delta T \approx \bigl|\tfrac{\partial T}{\partial x}\bigr|\Delta x + \bigl|\tfrac{\partial T}{\partial y}\bigr|\Delta y = 2,5\cdot0,1 \;+\;3\cdot0,02 = 0,25 + 0,06 = 0,31.

Resposta

O erro máximo possível em T é aproximadamente 0,31.

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