Questão 3 - Série de Fourier de uma função por partes constante
Considere a função periódica
a) Mostre que , e escreva sua expressão geral.
c) Quais termos da série são nulos? Justifique com base nas propriedades de simetria da função.
d) Esboce o gráfico da aproximação de
utilizando os cinco primeiros termos não nulos da série.
c) Quais termos da série são nulos? Justifique com base nas propriedades de simetria da função.
d) Esboce o gráfico da aproximação de
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período
e pede:
– (a) mostrar que e a interpretação de simetria para ver quais anulam.
– (a) mostrar que e a interpretação de simetria para ver quais anulam.
Passo 2
Para ver que
Logo é função ímpar.
Passo 3
As fórmulas dos coeficientes na base
são
Por
ímpar têm-se
e
(produto de ímpar por par dá integral zero).
Para , como
é par,
Para
Passo 4
Do resultado anterior segue
Se
é par então
e
. Se
é ímpar então
e
Portanto só há termos de seno com índices ímpares.
Passo 5
A série de Fourier de
fica
Passo 6
Os cinco primeiros termos não nulos correspondem a
. A aproximação parcial é
O gráfico de
é uma “onda quadrada” aproximada, com platôs próximos de
e pequenas ondulações (overshoot de Gibbs) em
.
Resposta
a)
é ímpar pois
.
b) Na série de Fourier periódica de período tem-se
b) Na série de Fourier periódica de período
logo
c) Todos os
e
são nulos (função ímpar) e também todos os
com
par (simetria).
d) A aproximação com cinco termos não nulos é
d) A aproximação com cinco termos não nulos é
que produz um “quase” quadrado de amplitude
com overshoot nos saltos.