Questão 3 - Série de Fourier de uma função por partes constante

Considere a função periódica
a) Mostre que , e escreva sua expressão geral.
c) Quais termos da série são nulos? Justifique com base nas propriedades de simetria da função.
d) Esboce o gráfico da aproximação de utilizando os cinco primeiros termos não nulos da série.

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período
e pede:
– (a) mostrar que e a interpretação de simetria para ver quais anulam.

Passo 2

Para ver que
Logo é função ímpar.

Passo 3

As fórmulas dos coeficientes na base 1,cos nx,sin nx são
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx
Por f ímpar têm-se
a0=0 e an=0 (produto de ímpar por par dá integral zero).
Para bn, como f(x)sin(nx) é par,
bn =2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx =2pi,pi4 integral0^pisin(nx),dx =12,1-(-1)^nn

Passo 4

Do resultado anterior segue
bn=1-(-1)^n2n
Se n é par então (-1)^n=1 e bn=0. Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e
bn=1-(-1)2n=22n=1n
Portanto só há termos de seno com índices ímpares.

Passo 5

A série de Fourier de fica

Passo 6

Os cinco primeiros termos não nulos correspondem a n=1,3,5,7,9. A aproximação parcial é
S5(x) =sin(x) +13sin(3x) +15sin(5x) +17sin(7x) +19sin(9x)
O gráfico de S5(x) é uma “onda quadrada” aproximada, com platôs próximos de pmpi/4 e pequenas ondulações (overshoot de Gibbs) em x=0,pmpi.

Resposta

a) é ímpar pois .
b) Na série de Fourier periódica de período tem-se
logo
c) Todos os e são nulos (função ímpar) e também todos os com par (simetria).
d) A aproximação com cinco termos não nulos é
que produz um “quase” quadrado de amplitude com overshoot nos saltos.

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