Determine todas as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: “Determine todas as derivadas de segunda ordem” da função abaixo. A função dada é
As derivadas de segunda ordem que precisamos encontrar são:
,
,
e
(ou seja, derivadas parciais segundas em todas as combinações).
Informações relevantes que o enunciado dá: a expressão explícita de . Não há restrições sobre
e
; tratamos
e
como variáveis independentes.
Informações relevantes que o enunciado dá: a expressão explícita de
Passo 2
Antes de começar a calcular: o que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada que fazemos tratando como constante. - A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada que fazemos tratando como constante.
Regras que usaremos (explicadas de forma simples):
- Regra do poder (power rule): a derivada de
em relação a é . - Se temos um produto em que um fator é constante (por exemplo
quando derivamos em relação a ), então podemos puxar esse fator como constante: a derivada de em relação a é vezes a derivada de , ou seja . - Analogamente quando derivamos em relação a
, tratamos como constante.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular
(primeira derivada parcial em relação a
).
Partes da função:
Partes da função:
- A derivada de
em relação a é (power rule). - Na expressão
, ao derivar em relação a o é constante, então a derivada é . - A derivada de
em relação a é porque não depende de .
Somando:
Passo 4
Calcular
(primeira derivada parcial em relação a
).
Partes:
Partes:
- A derivada de
em relação a é (não depende de ). - Na expressão
, ao derivar em relação a o é constante, então a derivada é . - A derivada de
em relação a é (power rule aplicando coeficiente).
Somando:
Passo 5
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem começando por
. Isso é a derivada parcial de
em relação a
.
Já temos . Derivando termo a termo em relação a
:
Já temos
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (pois é constante aqui).
Logo:
Passo 6
Calcular
. Isso é a derivada parcial de
em relação a
.
Temos . Derivando em relação a
:
Temos
- Derivada de
em relação a : é constante, derivada de é , então produto dá . - Derivada de
em relação a é .
Assim:
Passo 7
Calcular as derivadas mistas
e
.
Primeiro
: derivada parcial de
em relação a
.
Lembrando .
Lembrando
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto:
Agora
: derivada parcial de
em relação a
.
Lembrando .
Lembrando
- Derivada de
em relação a é (pois é constante aqui). - Derivada de
em relação a é .
Portanto:
Observação final:
(ambas iguais a
), o que é esperado para funções suficientemente suaves (teorema de Clairaut).