Determine todas as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=x^{3}+x^{2} y^{3}-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine todas as derivadas de segunda ordem” da função abaixo. A função dada é
f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{3}-2y^{2}.
As derivadas de segunda ordem que precisamos encontrar são: \,f_{xx}, \,f_{yy}, \,f_{xy} e \,f_{yx} (ou seja, derivadas parciais segundas em todas as combinações).
Informações relevantes que o enunciado dá: a expressão explícita de f(x,y). Não há restrições sobre x e y; tratamos x e y como variáveis independentes.

Passo 2

Antes de começar a calcular: o que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \,f_x, é a derivada que fazemos tratando y como constante.
  • A derivada parcial de f em relação a y, escrita \,f_y, é a derivada que fazemos tratando x como constante.
Regras que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{n} em relação a x é \,n x^{n-1}.
  • Se temos um produto em que um fator é constante (por exemplo y^{3} quando derivamos em relação a x), então podemos puxar esse fator como constante: a derivada de \,x^{2}y^{3} em relação a x é y^{3} vezes a derivada de \,x^{2}, ou seja y^{3}\cdot 2x.
  • Analogamente quando derivamos em relação a y, tratamos x como constante.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular \,f_x (primeira derivada parcial em relação a x).
Partes da função:
x^{3},\qquad x^{2}y^{3},\qquad -2y^{2}.
  • A derivada de \,x^{3} em relação a x é \,3x^{2} (power rule).
  • Na expressão \,x^{2}y^{3}, ao derivar em relação a x o y^{3} é constante, então a derivada é \,y^{3}\cdot 2x = 2x y^{3}.
  • A derivada de -2y^{2} em relação a x é 0 porque não depende de x.
Somando:
f_x(x,y)=3x^{2}+2x y^{3}.

Passo 4

Calcular \,f_y (primeira derivada parcial em relação a y).
Partes:
x^{3},\qquad x^{2}y^{3},\qquad -2y^{2}.
  • A derivada de \,x^{3} em relação a y é 0 (não depende de y).
  • Na expressão \,x^{2}y^{3}, ao derivar em relação a y o x^{2} é constante, então a derivada é \,x^{2}\cdot 3y^{2} = 3x^{2}y^{2}.
  • A derivada de -2y^{2} em relação a y é -4y (power rule aplicando coeficiente).
Somando:
f_y(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y.

Passo 5

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem começando por \,f_{xx}. Isso é a derivada parcial de \,f_x em relação a x.
Já temos \,f_x(x,y)=3x^{2}+2x y^{3}. Derivando termo a termo em relação a x:
  • Derivada de \,3x^{2} em relação a x é \,6x.
  • Derivada de \,2x y^{3} em relação a x é \,2 y^{3} (pois y^{3} é constante aqui).
Logo:
f_{xx}(x,y)=6x+2y^{3}.

Passo 6

Calcular \,f_{yy}. Isso é a derivada parcial de \,f_y em relação a y.
Temos \,f_y(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y. Derivando em relação a y:
  • Derivada de \,3x^{2}y^{2} em relação a y: 3x^{2} é constante, derivada de y^{2} é 2y, então produto dá \,3x^{2}\cdot 2y = 6x^{2}y.
  • Derivada de -4y em relação a y é -4.
Assim:
f_{yy}(x,y)=6x^{2}y-4.

Passo 7

Calcular as derivadas mistas \,f_{xy} e \,f_{yx}.
Primeiro \,f_{xy}: derivada parcial de \,f_x em relação a y.
Lembrando \,f_x(x,y)=3x^{2}+2x y^{3}.
  • Derivada de \,3x^{2} em relação a y é 0.
  • Derivada de \,2x y^{3} em relação a y é 2x\cdot 3y^{2} = 6x y^{2}.
Portanto:
f_{xy}(x,y)=6x y^{2}.
Agora \,f_{yx}: derivada parcial de \,f_y em relação a x.
Lembrando \,f_y(x,y)=3x^{2}y^{2}-4y.
  • Derivada de \,3x^{2}y^{2} em relação a x é 3y^{2}\cdot 2x = 6x y^{2} (pois y^{2} é constante aqui).
  • Derivada de -4y em relação a x é 0.
Portanto:
f_{yx}(x,y)=6x y^{2}.
Observação final: \,f_{xy}=f_{yx} (ambas iguais a \,6x y^{2}), o que é esperado para funções suficientemente suaves (teorema de Clairaut).

Resposta

f_{xx}(x,y)=6x+2y^{3}
f_{yy}(x,y)=6x^{2}y-4
f_{xy}(x,y)=6x y^{2}
f_{yx}(x,y)=6x y^{2}

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