Determine todas as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:
*(d) f(x, y)=\sqrt{x{2}+y{2}})

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar todas as derivadas de segunda ordem da função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A raiz quadrada está bem definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} porque x^{2}+y^{2}\ge 0.
  • Precisamos encontrar f_{x}, f_{y} (para depois obter as segundas derivadas) e então as segundas parciais f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}.
  • Atenção: pode haver comportamento especial no ponto (0,0); isso será verificado durante a resolução.

Passo 2

Primeira ideia e notação útil: é mais simples trabalhar com
r(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Assim f(x,y)=r(x,y). Vou calcular as derivadas parciais primeiras usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (versão que usarei): se g(u)=u^{1/2} e u(x,y)=x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial}{\partial x}g(u(x,y))=g'(u(x,y))\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2} e \tfrac{\partial u}{\partial x}=2x. Portanto, aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x} (x^{2}+y^{2})^{1/2}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Analogamente para a derivada em y:
\frac{\partial}{\partial y} (x^{2}+y^{2})^{1/2}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Portanto, para (x,y) genérico (com x^{2}+y^{2}>0),
f_{x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\qquad f_{y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Verificação sobre o ponto (0,0): é importante checar se as derivadas parciais primeiras existem em (0,0).
Calcule f_{x}(0,0) pela definição:
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h^{2}}-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}.
Esse limite não existe (é +1 quando h\to 0^{+} e -1 quando h\to 0^{-}). Logo f_{x}(0,0) não existe. Mesma conta dá para f_{y}(0,0). Conclusão: as derivadas parciais primeiras não estão definidas em (0,0). Consequentemente, as segundas derivadas também não estarão definidas em (0,0). A partir de agora trabalhamos apenas em pontos com (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Agora calculo f_{xx} (derivada parcial de f_{x} em relação a x) para (x,y)\neq(0,0). Vou escrever f_{x}=x r^{-1} com r=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Uso a regra do produto e a regra da cadeia:
f_{x}(x,y)=x\,r^{-1}.
Derivando em x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(x)\cdot r^{-1}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}(r^{-1}).
A primeira parcela é 1\cdot r^{-1}=r^{-1}.
Para a segunda, \frac{\partial}{\partial x}(r^{-1})=-1\cdot r^{-2}\cdot r_{x} pela regra da cadeia, e r_{x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})^{1/2}=\dfrac{x}{r} (já calculado).
Portanto,
f_{xx}=r^{-1}-x\cdot r^{-2}\cdot\frac{x}{r}=r^{-1}-\frac{x^{2}}{r^{3}}.
Agora simplifico usando r^{2}=x^{2}+y^{2}:
r^{-1}-\frac{x^{2}}{r^{3}}=\frac{r^{2}}{r^{3}}-\frac{x^{2}}{r^{3}}=\frac{r^{2}-x^{2}}{r^{3}}=\frac{y^{2}}{r^{3}}.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
f_{xx}(x,y)=\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Cálculo de f_{xy} (derivar f_{x} em relação a y). Parto de f_{x}=x r^{-1} e trato x como constante ao derivar em y:
f_{xy}=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}(r^{-1})=x\cdot\big(-1\big)r^{-2}\cdot r_{y}.
Já que r_{y}=\dfrac{y}{r}, obtemos
f_{xy}=-x\cdot r^{-2}\cdot\frac{y}{r}=-\frac{xy}{r^{3}}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
f_{xy}(x,y)=-\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 6

Cálculo de f_{yy} e verificação de f_{yx}.
Como f_{y}=y r^{-1}, por simetria do passo 4 (trocar x por y) segue que
f_{yy}=r^{-1}-\frac{y^{2}}{r^{3}}=\frac{x^{2}}{r^{3}}.
Ou seja, para (x,y)\neq(0,0),
f_{yy}(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Agora f_{yx} (derivar f_{y} em relação a x): partindo de f_{y}=y r^{-1} e derivando em x obtemos
f_{yx}=-\frac{xy}{r^{3}},
o mesmo resultado que f_{xy}. Assim, onde as derivadas estão definidas temos f_{xy}=f_{yx}.

Passo 7

Resumo e observações finais (rápidas):
  • As fórmulas encontradas são válidas apenas para (x,y)\neq(0,0) porque as derivadas primeiras já não existem em (0,0).
  • Fora da origem a função é suave e as segundas derivadas estão dadas pelas expressões abaixo; as mistas coincidem: f_{xy}=f_{yx}.

Resposta

f_{xx}(x,y)=\dfrac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}, (x,y)\neq(0,0)\n
f_{yy}(x,y)=\dfrac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}, (x,y)\neq(0,0)\n
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=-\dfrac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}, (x,y)\neq(0,0)\n
Em (0,0) as derivadas parciais primeiras e, portanto, as segundas derivadas não existem.

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