Determine todas as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:
*(d) f(x, y)=\sqrt{x{2}+y{2}})
*(d) f(x, y)=\sqrt{x{2}+y{2}})
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar todas as derivadas de segunda ordem da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - A raiz quadrada está bem definida para todo
porque . - Precisamos encontrar
, (para depois obter as segundas derivadas) e então as segundas parciais , , , . - Atenção: pode haver comportamento especial no ponto
; isso será verificado durante a resolução.
Passo 2
Primeira ideia e notação útil: é mais simples trabalhar com
Assim
. Vou calcular as derivadas parciais primeiras usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (versão que usarei): se
e
, então
Aqui
e
. Portanto, aplicando a regra da cadeia,
Analogamente para a derivada em
:
Portanto, para
genérico (com
),
Passo 3
Verificação sobre o ponto
: é importante checar se as derivadas parciais primeiras existem em
.
Calcule pela definição:
Calcule
Esse limite não existe (é
quando
e
quando
). Logo
não existe. Mesma conta dá para
. Conclusão: as derivadas parciais primeiras não estão definidas em
. Consequentemente, as segundas derivadas também não estarão definidas em
. A partir de agora trabalhamos apenas em pontos com
.
Passo 4
Agora calculo
(derivada parcial de
em relação a
) para
. Vou escrever
com
.
Uso a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando em
:
A primeira parcela é
.
Para a segunda, pela regra da cadeia, e
(já calculado).
Portanto,
Para a segunda,
Portanto,
Agora simplifico usando
:
Logo, para
,
Passo 5
Cálculo de
(derivar
em relação a
). Parto de
e trato
como constante ao derivar em
:
Já que
, obtemos
Portanto, para
,
Passo 6
Cálculo de
e verificação de
.
Como
, por simetria do passo 4 (trocar
por
) segue que
Ou seja, para
,
Agora
(derivar
em relação a
): partindo de
e derivando em
obtemos
o mesmo resultado que
. Assim, onde as derivadas estão definidas temos
.
Passo 7
Resumo e observações finais (rápidas):
- As fórmulas encontradas são válidas apenas para
porque as derivadas primeiras já não existem em . - Fora da origem a função é suave e as segundas derivadas estão dadas pelas expressões abaixo; as mistas coincidem:
.
Resposta
Em