Determine a derivada direcional de f(x, y) no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ:
f(x, y)=e^x cos y sendo (0,0), θ=π/14 R: √2/2

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=e^xcos y
no ponto (0,0) na direção que forma um ângulo theta com o eixo x. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e produto escalar:
– Conteúdo: derivada direcional via nabla fcdot u.
– Precisamos do gradiente de f, avaliá-lo em (0,0) e projetar na direção unitária u=(costheta,sintheta).

Passo 2

Calculemos o gradiente de f. Como
f(x,y)=e^xcos y,
têm-se
partial fpartial x=e^xcos y, partial fpartial y=-,e^xsin y
Logo,
nabla f(x,y) =l(e^xcos y,,-e^xsin yr)

Passo 3

Avaliando em (0,0):
nabla f(0,0) =l(e^0cos 0,,-e^0sin 0r) =(1,0)

Passo 4

A direção unitária associada ao ângulo theta é
u=(costheta,;sintheta)
A derivada direcional de f em (0,0) é
Duf(0,0) =nabla f(0,0)cdot u =1cdotcostheta + 0cdotsintheta =costheta

Passo 5

Basta agora usar theta=pi/14:
Duf(0,0) =cosl(tfracpi14r)

Resposta

boxedcosl(tfracpi14r)

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