Determine a derivada direcional de no ponto dado na direção e sentido do versor cuja inclinação com o eixo x positivo é . , no ponto .
Passo 1
Vamos resolver uma derivada direcional! A pergunta quer saber qual é a derivada direcional da função no ponto na direção de um vetor unitário que forma um ângulo de com o eixo x positivo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Aqui usamos a regra do produto e a derivada da função seno.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Novamente, aplicamos a regra do produto e a derivada da função seno em relação a .