Determine a derivada direcional de f no ponto dado na direção e sentido do versor u cuja inclinação com o eixo x positivo é theta.
f(x, y)=x cdot sen(x cdot y), no ponto (4,1), theta=pi3.

Passo 1

Vamos resolver uma derivada direcional! A pergunta quer saber qual é a derivada direcional da função f(x, y) = x cdot sin(xy) no ponto (4, 1) na direção de um vetor unitário u que forma um ângulo de theta = pi3 com o eixo x positivo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais, gradiente e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de f em relação a x e y . Ou seja,
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de f em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x [x cdot sin(xy)] = sin(xy) + x cdot y cdot cos(xy)
Aqui usamos a regra do produto e a derivada da função seno.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y [x cdot sin(xy)] = x cdot x cdot cos(xy) = x^2 cos(xy)
Novamente, aplicamos a regra do produto e a derivada da função seno em relação a y .

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto (4, 1):
partial fpartial x |(4,1) = sin(4 cdot 1) + 4 cdot 1 cdot cos(4 cdot 1) = sin(4) + 4 cos(4)
partial fpartial y |(4,1) = 4^2 cos(4 cdot 1) = 16 cos(4)
Portanto, o gradiente no ponto (4, 1) é:
nabla f(4,1) = ( sin(4) + 4 cos(4), 16 cos(4) )

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor unitário u que faz um ângulo de theta = pi3 com o eixo x positivo. As componentes desse vetor são dadas por:
u = ( costheta, sintheta ) = ( cos( pi3 ), sin( pi3 ) ) = ( 12, raiz32 )

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional de f na direção de u no ponto (4,1) é o produto escalar do gradiente por u :
Du f(4,1) = nabla f(4,1) cdot u = ( sin(4) + 4 cos(4) ) cdot 12 + ( 16 cos(4) ) cdot raiz32
Simplificando:
Du f(4,1) = 12 sin(4) + 2 cos(4) + 8 raiz3 cos(4)

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (4,1) na direção de u é:
Du f(4,1) = 12 sin(4) + 2 cos(4) + 8 raiz3 cos(4)

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