Resolva d yd x=e^-x^2, y(3)=5.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dydx = e^-x^2 com a condição inicial y(3) = 5. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar integrar a função que está na derivada para encontrar a expressão de y(x).

Passo 2

Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a x:
integral dydx , dx = integral e^-x^2 , dx

Passo 3

A integral do lado esquerdo é simples: a integral da derivada de y em relação a x é apenas y(x). Então temos:
y(x) = integral e^-x^2 , dx + C
onde C é a constante de integração que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral e^-x^2 , dx. Essa integral não tem uma solução expressa em termos de funções elementares, mas podemos representá-la usando a função erro ( erf(x)), que é definida por:
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 , dt
Rearranjando, temos:
integral e^-x^2 , dx = raizpi2 , erf(x) + C
Então, substituindo de volta na nossa expressão para y(x):
y(x) = raizpi2 , erf(x) + C

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial y(3) = 5 para encontrar o valor de C. Substituindo x = 3 e y = 5 na equação:
5 = raizpi2 , erf(3) + C
Resolvendo para C:
C = 5 - raizpi2 , erf(3)

Passo 6

Finalmente, substituímos o valor de C de volta na expressão de y(x) para obter a solução completa da equação diferencial:
y(x) = raizpi2 , erf(x) + 5 - raizpi2 , erf(3)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = raizpi2 [ erf(x) - erf(3) ] + 5

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