Resolva o problema de valor inicial d yd x=-xy, y(4)=-3.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial: dydx = -xy, com a condição inicial y(4) = -3. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especialmente aquelas que são separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis x e y e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever dydx como um produto de uma função só de x e outra função só de y. Olhando para a nossa equação:
dydx = -xy
Podemos reescrever isso como:
y , dy = -x , dx
Aqui, a gente multiplicou ambos os lados por y para separar as variáveis y e x.

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar em relação a y do lado esquerdo e em relação a x do lado direito:
integral y , dy = integral -x , dx
Integrando o lado esquerdo:
integral y , dy = y^22 + C1
E integrando o lado direito:
integral -x , dx = -x^22 + C2

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas integrais:
y^22 + C1 = -x^22 + C2
Podemos simplificar isso subtraindo C1 de ambos os lados e renomeando C = C2 - C1:
y^22 = -x^22 + C
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
y^2 = -x^2 + 2C
Podemos escrever 2C como apenas uma constante k:
y^2 + x^2 = k

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial y(4) = -3 para encontrar o valor da constante k. Substituindo x = 4 e y = -3 na equação:
(-3)^2 + (4)^2 = k 9 + 16 = k k = 25

Passo 6

Com o valor de k encontrado, nossa solução geral fica:
y^2 + x^2 = 25
Para achar y, podemos isolar:
y = pm raiz25 - x^2
Mas, lembrando da condição inicial y(4) = -3, escolhemos a solução negativa:
y = -raiz25 - x^2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y = -raiz25 - x^2 .

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