Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
, com a condição inicial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especialmente aquelas que são separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever
como um produto de uma função só de
e outra função só de
. Olhando para a nossa equação:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, a gente multiplicou ambos os lados por
para separar as variáveis
e
.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos integrar em relação a
do lado esquerdo e em relação a
do lado direito:
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas integrais:
Podemos simplificar isso subtraindo
de ambos os lados e renomeando
:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Podemos escrever
como apenas uma constante
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
. Substituindo
e
na equação:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, nossa solução geral fica:
Para achar
, podemos isolar:
Mas, lembrando da condição inicial
, escolhemos a solução negativa:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.