Determine as seguintes derivadas parciais
f(x, y)=y(x+x^2 y)^5

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=yl(x + x^2yr)^5
O conteúdo aqui é derivada parcial em funções de duas variáveis, e vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto:
f(x,y)=ycdot g(x,y),
com g(x,y)=l(x + x^2yr)^5. Então
partial fpartial x = ycdot partialpartial xl(x + x^2yr)^5 + 0cdot g(x,y)
Agora usamos a regra da cadeia em g:
partialpartial xl(x + x^2yr)^5 =5l(x + x^2yr)^4cdotpartialpartial xl(x + x^2yr) =5l(x + x^2yr)^4l(1+2xyr)
Logo,
partial fpartial x =5,yl(x + x^2yr)^4l(1+2xyr)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante e aplicamos a regra do produto:
partial fpartial y =1cdotl(x + x^2yr)^5 + ycdotpartialpartial yl(x + x^2yr)^5
De novo, pela cadeia,
partialpartial yl(x + x^2yr)^5 =5l(x + x^2yr)^4cdotpartialpartial yl(x + x^2yr) =5l(x + x^2yr)^4,x^2
Portanto,
partial fpartial y =l(x + x^2yr)^5 +5x^2yl(x + x^2yr)^4
Podemos fatorar l(x + x^2yr)^4, obtendo
partial fpartial y =l(x + x^2yr)^4l(x +6x^2yr)

Resposta

(a) partial fpartial x = 5,yl(x + x^2yr)^4l(1+2xyr)
(b) partial fpartial y = l(x + x^2yr)^5 + 5x^2yl(x + x^2yr)^4 = l(x + x^2yr)^4l(x + 6x^2yr)

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