Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção do vetor . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente derivadas parciais e vetores direções. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de e normalizar o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente de no ponto , e é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de . Então, temos:
Agora, vamos normalizar o vetor v = (5, 1, -2) para obter o vetor unitário u . A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento (magnitude):