Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção do vetor v.
f(x, y, z)=x e^y+y e^z,(0,0,0), v=(5,1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função f(x, y, z) = x e^y + y e^z no ponto (0, 0, 0) na direção do vetor v = (5, 1, -2) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente derivadas parciais e vetores direções. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de f e normalizar o vetor v .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função f em um ponto P na direção de um vetor v é dada por:
Dv f(P) = nabla f(P) cdot u
Aqui, nabla f(P) é o gradiente de f no ponto P , e u é o vetor unitário na direção de v .

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente de f . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de f . Então, temos:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = e^y
  1. Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = x e^y + e^z
  1. Derivada parcial em relação a z :
partial fpartial z = y e^z

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (0, 0, 0) :
  1. Para partial fpartial x :
partial fpartial x |(0, 0, 0) = e^0 = 1
  1. Para partial fpartial y :
partial fpartial y |(0, 0, 0) = 0 cdot e^0 + e^0 = 0 + 1 = 1
  1. Para partial fpartial z :
partial fpartial z |(0, 0, 0) = 0 cdot e^0 = 0
Portanto, o gradiente no ponto (0, 0, 0) é:
nabla f(0, 0, 0) = (1, 1, 0)

Passo 5

Agora, vamos normalizar o vetor v = (5, 1, -2) para obter o vetor unitário u . A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento (magnitude):
|v| = raiz5^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz25 + 1 + 4 = raiz30
Então, o vetor unitário u é:
u = ( 5raiz30, 1raiz30, -2raiz30 )

Passo 6

Agora que temos o gradiente nabla f(0, 0, 0) = (1, 1, 0) e o vetor unitário u , vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
Dv f(0, 0, 0) = nabla f(0, 0, 0) cdot u = (1, 1, 0) cdot ( 5raiz30, 1raiz30, -2raiz30 )
Calculando o produto escalar:
Dv f(0, 0, 0) = 1 cdot 5raiz30 + 1 cdot 1raiz30 + 0 cdot -2raiz30 = 5 + 1 + 0raiz30 = 6raiz30
Podemos simplificar:
6raiz30 = 6 raiz3030 = raiz305

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (0, 0, 0) na direção do vetor (5, 1, -2) é raiz305 .

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