OBS: A notação [7.1:3] indica o exercício número 3 da Seção 7.1 do Livro-texto: Stewart ( 8^a ed).
[Seção 8.1] Encontre o comprimento exato da curva.
[14] y=ln (cos (x)), 0 <= x <= pi / 3

Passo 1

O enunciado dá a curva y=ln(cos x) no intervalo 0<= x<=pi/3 e pede o comprimento de arco. O conteúdo é comprimento de curva para função y=f(x), que usa a fórmula
L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Vamos calcular a derivada:
y'=ddxl[ln(cos x)r] =-tan x
Então
1+(y')^2=1+tan^2x=sec^2x,
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raiz1+(y')^2=sec x
(no intervalo dado, sec x>=0).

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, temos
L=integral0^pi/3sec x;dx
A antiderivada de sec x é
integralsec x;dx=lnl|sec x+tan xr|+C

Passo 4

Avaliaremos de 0 a pi/3:
L =l[lnl|sec x+tan xr|r]0^pi/3 =lnl(sec(tfracpi3)+tan(tfracpi3)r) -lnl(sec0+tan0r)
Como sec(pi/3)=2, tan(pi/3)=raiz3 e sec0+tan0=1, fica
L=lnl(2+raiz3r)-ln(1)=lnl(2+raiz3r)

Resposta

lnl(2+raiz3r)

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