Determine a derivada direcional de f no ponto indicado e na direção do ângulo theta ou vetor v,
f(x, y)=e^x cos y
(1,1),
theta=pi4.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=e^xcos y no ponto (1,1) na direção que forma ângulo theta=tfracpi4 com o eixo x. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e o produto escalar com o vetor unitário que identifica essa direção.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f, que é o vetor das derivadas parciais:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = l(e^xcos y,,-e^xsin yr)

Passo 3

Avaliando o gradiente em (1,1) (lembrando que os argumentos de seno e cosseno estão em radianos), temos
nabla f(1,1) = l(e^1cos 1,,-e^1sin 1r) = l(ecos 1,,-esin 1r)

Passo 4

O vetor unitário que aponta na direção de ângulo theta=tfracpi4 é
u = l(costfracpi4,,sintfracpi4r) = l(tfracraiz22,,tfracraiz22r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar nabla f(1,1)cdotu:
Duf(1,1) = l(ecos 1,,-esin 1r)cdotl(tfracraiz22,,tfracraiz22r) = tfracraiz22,ecos 1 + tfracraiz22,(-esin 1) = tfracraiz2,e2l(cos 1 - sin 1r)

Resposta

Dtheta=pi/4f(1,1) = tfracraiz2,e2l(cos 1 - sin 1r)

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