A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T(x, y)= 60 /(1+x^2+y^2), onde T é medido em ^circ C e x e y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (1,2) com relação a y.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função de x e y:
T(x,y)=601+x^2+y^2,
e pede a taxa de variação de T em relação a y no ponto (1,2). O conteúdo necessário é derivação parcial e regra da cadeia.

Passo 2

Para encontrar a derivada parcial partial Tpartial y, escrevemos
T(x,y)=60,(1+x^2+y^2)^-1
e aplicamos a regra da cadeia:
partial Tpartial y =60cdot(-1),(1+x^2+y^2)^-2cdotpartialpartial y(1+x^2+y^2) =-60,(1+x^2+y^2)^-2cdot2y =-120,y(1+x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(1,2):
partial Tpartial y(1,2) =-120cdot 2l(1+1^2+2^2r)^2 =-240(1+1+4)^2 =-24036 =-203

Resposta

A taxa de variação de T em relação a y no ponto (1,2) é
-203 circC/m

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