Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
z=x yx-y.

Passo 1

O enunciado pede para a função
z = x,yx - y
calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem e verificar o Teorema de Clairaut (isto é, se partial^2 zpartial xpartial y=partial^2 zpartial ypartial x). Vamos usar a regra do quociente para obter as primeiras parciais e em seguida derivar novamente.

Passo 2

Calcular as primeiras derivadas parciais:
Para partial zpartial x, trate y como constante. Com N=x,y e D=x-y,
partial zpartial x =Dcdotpartial Npartial x-Ncdotpartial Dpartial xD^2 =(x-y),y - x,ycdot1(x-y)^2 =xy - y^2 - xy(x-y)^2 =-y^2(x-y)^2
Para partial zpartial y, trate x como constante. Com N=x,y e D=x-y,
partial zpartial y =(x-y),x - x,ycdot(-1)(x-y)^2 =x^2 - xy + xy(x-y)^2 =x^2(x-y)^2

Passo 3

Derivar partial zpartial x=-dfracy^2(x-y)^2 em relação a x e a y:
partial^2 zpartial x^2:
partial^2 zpartial x^2 =-y^2;ddxl[(x-y)^-2r] =-y^2cdot(-2)(x-y)^-3cdot1 =2,y^2(x-y)^3
partial^2 zpartial y,partial x:
partial^2 zpartial ypartial x =partialpartial y!l[-y^2,(x-y)^-2r] =-2y,(x-y)^-2;+;-y^2cdot2,(x-y)^-3 =-2y(x-y)^2-2y^2(x-y)^3 =-2xy(x-y)^3

Passo 4

Derivar partial zpartial y=dfracx^2(x-y)^2 em relação a y e a x:
partial^2 zpartial y^2:
partial^2 zpartial y^2 =x^2;ddyl[(x-y)^-2r] =x^2cdot(-2)(x-y)^-3cdot(-1) =2,x^2(x-y)^3
partial^2 zpartial x,partial y:
partial^2 zpartial xpartial y =partialpartial x!l[x^2,(x-y)^-2r] =2x,(x-y)^-2+x^2cdot(-2)(x-y)^-3 =2x(x-y)^2-2x^2(x-y)^3 =-2xy(x-y)^3

Passo 5

Comparando as mistas:
partial^2 zpartial ypartial x =-2xy(x-y)^3 e partial^2 zpartial xpartial y =-2xy(x-y)^3,
vemos que são iguais sempre que xneq y. Como a função é C^2 em seu domínio (x,y)mid xneq y, o Teorema de Clairaut se confirma.

Resposta

partial^2 zpartial x^2 =2,y^2(x-y)^3, partial^2 zpartial xpartial y =partial^2 zpartial ypartial x =-2,x,y(x-y)^3, partial^2 zpartial y^2 =2,x^2(x-y)^3
O Teorema de Clairaut fica verificado pois as derivadas mistas coincidem.

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