Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem e verificar o Teorema de Clairaut (isto é, se
). Vamos usar a regra do quociente para obter as primeiras parciais e em seguida derivar novamente.
Passo 2
Calcular as primeiras derivadas parciais:
Para
, trate
como constante. Com
e
,
Para
, trate
como constante. Com
e
,
Passo 3
Derivar
em relação a
e a
:
Passo 4
Derivar
em relação a
e a
:
Passo 5
Comparando as mistas:
vemos que são iguais sempre que
. Como a função é
em seu domínio
, o Teorema de Clairaut se confirma.
Resposta
O Teorema de Clairaut fica verificado pois as derivadas mistas coincidem.