Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
u=x sen(x+2 y),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função u = x sin(x + 2y) e verificar o Teorema de Clairaut. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique claro!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. Como nossa função u depende de x e y , vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de u em relação a x , denotada por ux .
u = x sin(x + 2y)
Aplicamos a regra do produto:
ux = partialpartial x [x] cdot sin(x + 2y) + x cdot partialpartial x [sin(x + 2y)]
Calculando as derivadas:
partialpartial x [x] = 1
partialpartial x [sin(x + 2y)] = cos(x + 2y) cdot partialpartial x [x + 2y] = cos(x + 2y) cdot 1 = cos(x + 2y)
Então:
ux = sin(x + 2y) + x cos(x + 2y)

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de u em relação a y , denotada por uy .
u = x sin(x + 2y)
Como x é tratado como constante em relação a y :
uy = x cdot partialpartial y [sin(x + 2y)]
Calculando a derivada:
partialpartial y [sin(x + 2y)] = cos(x + 2y) cdot partialpartial y [x + 2y] = cos(x + 2y) cdot 2 = 2cos(x + 2y)
Então:
uy = 2x cos(x + 2y)

Passo 5

Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos calcular uxx , que é a derivada parcial de ux em relação a x .
ux = sin(x + 2y) + x cos(x + 2y)
Derivando em relação a x :
uxx = partialpartial x [sin(x + 2y)] + partialpartial x [x cos(x + 2y)]
Calculando as derivadas:
partialpartial x [sin(x + 2y)] = cos(x + 2y)
partialpartial x [x cos(x + 2y)] = cos(x + 2y) + x (-sin(x + 2y)) cdot 1 = cos(x + 2y) - x sin(x + 2y)
Então:
uxx = cos(x + 2y) + cos(x + 2y) - x sin(x + 2y) = 2cos(x + 2y) - x sin(x + 2y)

Passo 6

Vamos calcular agora uyy , que é a derivada parcial de uy em relação a y .
uy = 2x cos(x + 2y)
Derivando em relação a y :
uyy = 2x cdot partialpartial y [cos(x + 2y)]
Calculando a derivada:
partialpartial y [cos(x + 2y)] = -sin(x + 2y) cdot partialpartial y [x + 2y] = -sin(x + 2y) cdot 2 = -2sin(x + 2y)
Então:
uyy = 2x cdot (-2sin(x + 2y)) = -4x sin(x + 2y)

Passo 7

Por último, vamos calcular as derivadas mistas uxy e uyx . Segundo o Teorema de Clairaut, se as segundas derivadas mistas forem contínuas, elas devem ser iguais, ou seja, uxy = uyx .
Primeiro, calculamos uxy , que é a derivada parcial de ux em relação a y :
ux = sin(x + 2y) + x cos(x + 2y)
Derivando em relação a y :
uxy = partialpartial y [sin(x + 2y)] + x cdot partialpartial y [cos(x + 2y)]
Calculando as derivadas:
partialpartial y [sin(x + 2y)] = cos(x + 2y) cdot 2 = 2cos(x + 2y)
partialpartial y [cos(x + 2y)] = -sin(x + 2y) cdot 2 = -2sin(x + 2y)
Então:
uxy = 2cos(x + 2y) + x(-2sin(x + 2y)) = 2cos(x + 2y) - 2xsin(x + 2y)
Agora, calculamos uyx , que é a derivada parcial de uy em relação a x :
uy = 2x cos(x + 2y)
Derivando em relação a x :
uyx = 2 cdot partialpartial x [x cos(x + 2y)]
Calculando a derivada:
partialpartial x [x cos(x + 2y)] = cos(x + 2y) + x(-sin(x + 2y)) cdot 1 = cos(x + 2y) - x sin(x + 2y)
Então:
uyx = 2[cos(x + 2y) - x sin(x + 2y)] = 2cos(x + 2y) - 2xsin(x + 2y)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
uxx = 2cos(x + 2y) - x sin(x + 2y)
uyy = -4x sin(x + 2y)
uxy = uyx = 2cos(x + 2y) - 2x sin(x + 2y)
Além disso, verificamos que uxy = uyx , confirmando o Teorema de Clairaut.

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