Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
e verificar o Teorema de Clairaut. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vou te guiar passo a passo para que tudo fique claro!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas medem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. Como nossa função
depende de
e
, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Aplicamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Como
é tratado como constante em relação a
:
Calculando a derivada:
Então:
Passo 5
Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
.
Derivando em relação a
:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 6
Vamos calcular agora
, que é a derivada parcial de
em relação a
.
Derivando em relação a
:
Calculando a derivada:
Então:
Passo 7
Por último, vamos calcular as derivadas mistas
e
. Segundo o Teorema de Clairaut, se as segundas derivadas mistas forem contínuas, elas devem ser iguais, ou seja,
.
Primeiro, calculamos
, que é a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Calculando as derivadas:
Então:
Agora, calculamos
, que é a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Calculando a derivada:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
Além disso, verificamos que
, confirmando o Teorema de Clairaut.