Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
u=ln raizx^2+y^2,

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de
u(x,y) = lnraizx^2+y^2
e verificar o Teorema de Clairaut (isto é, checar se uxy=uyx). Vamos usar regra da cadeia e quociente para diferenças parciais.

Passo 2

Antes de tudo, percebemos que
u(x,y)=tfrac12lnl(x^2+y^2r)
Aplicando regra da cadeia e quociente, calculamos as derivadas de primeira ordem:
ux =12cdot2xx^2+y^2 =xx^2+y^2, uy =12cdot2yx^2+y^2 =yx^2+y^2

Passo 3

Agora derivamos ux em relação a x e a y. Usando quociente, para ux=tfracxx^2+y^2 temos
uxx =(1)(x^2+y^2)-x(2x)(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
uxy =partialpartial yl(tfracxx^2+y^2r) =-,xcdot2y(x^2+y^2)^2 =-2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

De modo análogo, derivamos uy=tfracyx^2+y^2 em relação a x e y:
uyx =partialpartial xl(tfracyx^2+y^2r) =-,ycdot2x(x^2+y^2)^2 =-2xy(x^2+y^2)^2,
uyy =(1)(x^2+y^2)-y(2y)(x^2+y^2)^2 =x^2-y^2(x^2+y^2)^2

Passo 5

Comparando uxy e uyx, vemos que
uxy=-2xy(x^2+y^2)^2 e uyx=-2xy(x^2+y^2)^2,
logo uxy=uyx. Como todas as segundas derivadas são contínuas em (x,y)neq(0,0), o Teorema de Clairaut se confirma.

Resposta

ux=xx^2+y^2, uy=yx^2+y^2,
uxx=y^2-x^2(x^2+y^2)^2, uxy=uyx=-2xy(x^2+y^2)^2, uyy=x^2-y^2(x^2+y^2)^2,
e uxy=uyx, confirmando o Teorema de Clairaut.

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