Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado pede para a gente calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de
e verificar o Teorema de Clairaut (isto é, checar se
). Vamos usar regra da cadeia e quociente para diferenças parciais.
Passo 2
Antes de tudo, percebemos que
Aplicando regra da cadeia e quociente, calculamos as derivadas de primeira ordem:
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
e a
. Usando quociente, para
temos
Passo 4
De modo análogo, derivamos
em relação a
e
:
Passo 5
Comparando
e
, vemos que
logo
. Como todas as segundas derivadas são contínuas em
, o Teorema de Clairaut se confirma.
Resposta
e
, confirmando o Teorema de Clairaut.