Determine a derivada direcional de no ponto indicado e na direção do ângulo ou vetor , , , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do ângulo . Para isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional, calcular o gradiente da função e depois fazer um produto escalar com o vetor na direção dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Basicamente, ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação às variáveis e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas nos dão a direção em que cresce mais rapidamente em relação a cada variável.
Com o gradiente nabla f(0, 4) conhecido, precisamos agora do vetor na direção do ângulo theta = pi6. Podemos encontrar esse vetor unitário usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
u = ( cos(pi6), sin(pi6) ) = ( raiz32, 12 )
Passo 6
A derivada direcional Duf(0, 4) é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção dada:
Duf(0, 4) = nabla f(0, 4) cdot u = (0, 0) cdot ( raiz32, 12 ) = 0 times raiz32 + 0 times 12 = 0
Resposta
A derivada direcional de f no ponto (0, 4) na direção de theta = pi6 é igual a 0.