Determine a derivada direcional de f no ponto indicado e na direção do ângulo theta ou vetor v,
f(x, y)=x^3 y^4+x^4 y^3,
(0,4),
theta=pi6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função f(x, y) = x^3y^4 + x^4y^3 no ponto (0, 4) na direção do ângulo theta = pi6. Para isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional, calcular o gradiente da função e depois fazer um produto escalar com o vetor na direção dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Basicamente, ela nos diz a taxa de variação da função f em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função f , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação às variáveis x e y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f :
partial fpartial x = 3x^2y^4 + 4x^3y^3
partial fpartial y = 4x^3y^3 + 3x^4y^2
Essas derivadas nos dão a direção em que f cresce mais rapidamente em relação a cada variável.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (0, 4):
partial fpartial x|(0,4) = 3(0)^2(4)^4 + 4(0)^3(4)^3 = 0 + 0 = 0
partial fpartial y|(0,4) = 4(0)^3(4)^3 + 3(0)^4(4)^2 = 0 + 0 = 0
Portanto, o gradiente de f no ponto (0, 4) é:
nabla f(0, 4) = (0, 0)

Passo 5

Com o gradiente nabla f(0, 4) conhecido, precisamos agora do vetor na direção do ângulo theta = pi6. Podemos encontrar esse vetor unitário usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
u = ( cos(pi6), sin(pi6) ) = ( raiz32, 12 )

Passo 6

A derivada direcional Duf(0, 4) é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção dada:
Duf(0, 4) = nabla f(0, 4) cdot u = (0, 0) cdot ( raiz32, 12 ) = 0 times raiz32 + 0 times 12 = 0

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (0, 4) na direção de theta = pi6 é igual a 0.

Exercícios relacionados