Use a Regra da Cadeia para determinar d u / d t ou partial u / partial s e partial u / partial t.
u=x^2+x y^2, x=2+t^4, y=1-t^3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função u = x^2 + x y^2 , onde x e y também são funções de t :
  • x = 2 + t^4
  • y = 1 - t^3
Precisamos usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de u em relação a t , ou seja, dudt . A Regra da Cadeia é útil quando uma função depende de outras funções que, por sua vez, dependem de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula geral da Regra da Cadeia para derivadas totais. Se u depende de x e y , e ambos x e y dependem de t , então:
dudt = partial upartial x cdot dxdt + partial upartial y cdot dydt
Aqui, partial upartial x e partial upartial y são as derivadas parciais de u em relação a x e y , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u :
  1. Derivada parcial de u em relação a x :
partial upartial x = 2x + y^2
  1. Derivada parcial de u em relação a y :
partial upartial y = 2x y

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t :
  1. Derivada de x em relação a t :
dxdt = ddt(2 + t^4) = 4 t^3
  1. Derivada de y em relação a t :
dydt = ddt(1 - t^3) = -3 t^2

Passo 5

Substituímos todas essas expressões na fórmula da Regra da Cadeia:
dudt = (2x + y^2) cdot (4 t^3) + (2x y) cdot (-3 t^2)

Passo 6

Vamos substituir x e y pelas suas expressões em função de t :
x = 2 + t^4
y = 1 - t^3
Substituindo na expressão:
dudt = [2(2 + t^4) + (1 - t^3)^2] cdot 4 t^3 + [2(2 + t^4)(1 - t^3)] cdot (-3 t^2)

Passo 7

Vamos simplificar cada parte:
  1. Calculando 2(2 + t^4) :
4 + 2 t^4
  1. Calculando (1 - t^3)^2 :
1 - 2 t^3 + t^6
Então:
2x + y^2 = 4 + 2 t^4 + 1 - 2 t^3 + t^6 = 5 + 2 t^4 - 2 t^3 + t^6
Para a segunda parte, 2x y :
2(2 + t^4)(1 - t^3) = 4(1 - t^3) + 2 t^4(1 - t^3) = 4 - 4 t^3 + 2 t^4 - 2 t^7

Passo 8

Substituímos de volta na expressão da derivada:
dudt = (5 + 2 t^4 - 2 t^3 + t^6) cdot 4 t^3 + (4 - 4 t^3 + 2 t^4 - 2 t^7) cdot (-3 t^2)
Vamos multiplicar os termos:
  1. Para a primeira multiplicação:
(5 + 2 t^4 - 2 t^3 + t^6) cdot 4 t^3 = 20 t^3 + 8 t^7 - 8 t^6 + 4 t^9
  1. Para a segunda multiplicação:
(4 - 4 t^3 + 2 t^4 - 2 t^7) cdot (-3 t^2) = -12 t^2 + 12 t^5 - 6 t^6 + 6 t^9

Passo 9

Agora, somamos as duas partes:
20 t^3 + 8 t^7 - 8 t^6 + 4 t^9 - 12 t^2 + 12 t^5 - 6 t^6 + 6 t^9
Vamos agrupar os termos semelhantes:
  • t^9 : 4 t^9 + 6 t^9 = 10 t^9
  • t^7 : 8 t^7
  • t^6 : -8 t^6 -6 t^6 = -14 t^6
  • t^5 : 12 t^5
  • t^3 : 20 t^3
  • t^2 : -12 t^2
Então, temos:
dudt = 10 t^9 + 8 t^7 - 14 t^6 + 12 t^5 + 20 t^3 - 12 t^2

Resposta

A derivada de u em relação a t é:
dudt = 10 t^9 + 8 t^7 - 14 t^6 + 12 t^5 + 20 t^3 - 12 t^2

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