Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
e
.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
, onde
e
também são funções de
:
Precisamos usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A Regra da Cadeia é útil quando uma função depende de outras funções que, por sua vez, dependem de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a fórmula geral da Regra da Cadeia para derivadas totais. Se
depende de
e
, e ambos
e
dependem de
, então:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Substituímos todas essas expressões na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 6
Vamos substituir
e
pelas suas expressões em função de
:
Substituindo na expressão:
Passo 7
Vamos simplificar cada parte:
- Calculando
:
- Calculando
:
Então:
Para a segunda parte,
:
Passo 8
Substituímos de volta na expressão da derivada:
Vamos multiplicar os termos:
- Para a primeira multiplicação:
- Para a segunda multiplicação:
Passo 9
Agora, somamos as duas partes:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
-
: -
: -
: -
: -
: -
:
Então, temos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: