Use a Regra da Cadeia para determinar d u / d t ou partial u / partial s e partial u / partial t.
u=x e^y / z, x=t^2, y=1-t, z=1+2 t.

Passo 1

O enunciado define
u = x,e^y/z,
com as parametrizações
x = t^2, y = 1 - t, z = 1 + 2t
O conteúdo é aplicação da Regra da Cadeia para uma função u(x,y,z) cujas variáveis dependem de t. Logo, vamos usar
dudt = partial upartial x,dxdt + partial upartial y,dydt + partial upartial z,dzdt

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de u em relação a x,y,z. Como u(x,y,z)=x,expl(y/zr), usando produto e cadeia:
ux = partial upartial x = e^y/z, uy = partial upartial y = x,e^y/zcdot1z, uz = partial upartial z = x,e^y/zcdotl(-yz^2r)

Passo 3

Agora as derivadas de x,y,z em relação a t:
dxdt = 2t, dydt = -1, dzdt = 2

Passo 4

Substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
dudt = uxcdotdxdt + uycdotdydt + uzcdotdzdt = e^y/z,(2t) + x,e^y/z,1z,(-1) + x,e^y/z,l(-yz^2r),(2)
Fatorando e^y/z:
dudt = e^y/zl[2t - xz - 2xyz^2r]

Passo 5

Por fim, voltamos x,y,z em função de t: x=t^2, y=1-t, z=1+2t. Assim
dudt = exp!l(1-t1+2tr) l[ 2t - t^21+2t - 2,t^2,(1-t)(1+2t)^2 r]

Resposta

dudt = exp!l(1-t1+2tr) l( 2t - t^21+2t - 2,t^2,(1-t)(1+2t)^2 r)

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