Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de
em relação a
ou as derivadas parciais de
em relação a
e
. A gente tem que trabalhar com a função:
onde:
Então, vamos precisar entender como calcular derivadas compostas usando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada total de
em relação a
. Como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, aplicamos a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
- Derivada de
em relação a :
Isso porque a derivada de
é
, e
é tratado como constante.
- Derivada de
em relação a :
Aqui, a derivada de
é
, e
é tratado como constante.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos tudo de volta na fórmula da derivada total:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Se a gente quiser as derivadas parciais de
em relação a
e
, vamos fazer de forma similar:
- Derivada parcial de
em relação a :
Calculando:
Então:
- Derivada parcial de
em relação a :
Já fizemos isso no Passo 5 e 6, mas aqui está de novo:
Resposta
A derivada total de
em relação a
é:
E as derivadas parciais são: