Use a Regra da Cadeia para determinar d u / d t ou partial u / partial s e partial u / partial t.
u=sen(theta) cos (phi), theta=s t^2, phi=s^2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de u em relação a t ou as derivadas parciais de u em relação a s e t . A gente tem que trabalhar com a função:
u = sin(theta) cos(phi)
onde:
theta = s t^2, phi = s^2 t
Então, vamos precisar entender como calcular derivadas compostas usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada total de u em relação a t . Como u depende de theta e phi , que por sua vez dependem de t , aplicamos a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis:
dudt = partial upartial theta cdot dthetadt + partial upartial phi cdot dphidt

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada de u em relação a theta :
partial upartial theta = cos(theta) cos(phi)
Isso porque a derivada de sin(theta) é cos(theta) , e cos(phi) é tratado como constante.
  1. Derivada de u em relação a phi :
partial upartial phi = -sin(theta) sin(phi)
Aqui, a derivada de cos(phi) é -sin(phi) , e sin(theta) é tratado como constante.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de theta e phi em relação a t :
  1. Derivada de theta em relação a t :
dthetadt = ddt(s t^2) = 2s t
  1. Derivada de phi em relação a t :
dphidt = ddt(s^2 t) = s^2

Passo 5

Agora, substituímos tudo de volta na fórmula da derivada total:
dudt = cos(theta) cos(phi) cdot 2s t + (-sin(theta) sin(phi)) cdot s^2

Passo 6

Simplificando a expressão:
dudt = 2s t cos(theta) cos(phi) - s^2 sin(theta) sin(phi)

Passo 7

Se a gente quiser as derivadas parciais de u em relação a s e t , vamos fazer de forma similar:
  1. Derivada parcial de u em relação a s :
partial upartial s = partial upartial theta cdot partial thetapartial s + partial upartial phi cdot partial phipartial s
Calculando:
partial thetapartial s = t^2, partial phipartial s = 2s t
Então:
partial upartial s = cos(theta) cos(phi) cdot t^2 + (-sin(theta) sin(phi)) cdot 2s t
partial upartial s = t^2 cos(theta) cos(phi) - 2s t sin(theta) sin(phi)
  1. Derivada parcial de u em relação a t :
    Já fizemos isso no Passo 5 e 6, mas aqui está de novo:
partial upartial t = 2s t cos(theta) cos(phi) - s^2 sin(theta) sin(phi)

Resposta

A derivada total de u em relação a t é:
dudt = 2s t cos(theta) cos(phi) - s^2 sin(theta) sin(phi)
E as derivadas parciais são:
partial upartial s = t^2 cos(theta) cos(phi) - 2s t sin(theta) sin(phi)
partial upartial t = 2s t cos(theta) cos(phi) - s^2 sin(theta) sin(phi)

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