Determine a derivada direcional de f(x, y, z)=raizx y z no ponto (3,2,6) na direção do vetor v=lang<=-1,-2,2rang<=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=raizx,y,z
no ponto (3,2,6) na direção do vetor v=lang<= -1,-2,2rang<=.
Conteúdo: derivada direcional via produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f. Como f(x,y,z)=(x y z)^1/2, pelas regras de derivação de potências e produto,
nabla f(x,y,z) =l(fx,,fy,,fzr) =l(tfrac12(x y z)^-1/2,y z,;tfrac12(x y z)^-1/2,x z,;tfrac12(x y z)^-1/2,x yr)

Passo 3

Agora avaliamos nabla f em (3,2,6). Note que
x y z = 3cdot2cdot6 = 36, raiz36=6
Logo,
nabla f(3,2,6) =l(tfrac2cdot62cdot6,;tfrac3cdot62cdot6,;tfrac3cdot22cdot6r) =l(1,tfrac32,tfrac12r)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário u na direção de v=lang<= -1,-2,2rang<=.
O módulo de v é
|v|=raiz(-1)^2+(-2)^2+2^2=raiz1+4+4=3,
então
u=v|v| =llang<=-tfrac13,,-tfrac23,;tfrac23rrang<=

Passo 5

A derivada direcional Duf(3,2,6) é o produto escalar nabla f(3,2,6)cdotu:
Duf(3,2,6) =1cdotl(-tfrac13r) +tfrac32cdotl(-tfrac23r) +tfrac12cdotl(tfrac23r) =-tfrac13 -1 + tfrac13 =-1

Resposta

-1

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