Use a série de potências da função
centrada em
para demonstrar a seguinte expressão para
como soma de uma série infinita:
(Dica: Após obter a série para
, escolha um valor de
conveniente para obter a identidade.)
Passo 1
O exercício pede para usar a série de potências de
em torno de 0 e, a partir dela, escolher um valor de
que gere uma expressão envolvendo
. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor/Maclaurin de
e depois fazer uma escolha adequada de
(dica: algo envolvendo
).
Passo 2
A série de potências (Maclaurin) para
é dada por:
Isso decorre de integrar termo a termo a série de
.
Passo 3
Sabendo que
, escolhemos
. Substituindo na série obtemos:
Aqui usamos que
.
Passo 4
Colocando em evidência a fator
, a soma fica:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 6, temos:
Passo 6
Pronto! Obtivemos a expressão desejada para
.