Use a série de potências da função tan ^-1(x) centrada em x=0 para demonstrar a seguinte expressão para pi como soma de uma série infinita:
pi=2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n(2 n+1) 3^n
(Dica: Após obter a série para tan ^-1(x), escolha um valor de x conveniente para obter a identidade.)

Passo 1

O exercício pede para usar a série de potências de tan^-1(x) em torno de 0 e, a partir dela, escolher um valor de x que gere uma expressão envolvendo pi. Vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor/Maclaurin de tan^-1(x) e depois fazer uma escolha adequada de x (dica: algo envolvendo raiz3).

Passo 2

A série de potências (Maclaurin) para tan^-1(x) é dada por:
tan^-1(x) = sumn=0^infty (-1)^n2n+1,x^2n+1, |x|<=1
Isso decorre de integrar termo a termo a série de 1/(1+x^2).

Passo 3

Sabendo que tan^-1(1/raiz3) = pi/6, escolhemos x = 1/raiz3. Substituindo na série obtemos:
pi6 = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 l(1raiz3r)^2n+1
Aqui usamos que (1/raiz3)^2n+1 = 1/(3^nraiz3).

Passo 4

Colocando em evidência a fator 1/raiz3, a soma fica:
pi6 = 1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)3^n

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 6, temos:
pi = 6 cdot 1raiz3 sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)3^n = 2raiz3 sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)3^n

Passo 6

Pronto! Obtivemos a expressão desejada para pi.

Resposta

pi = 2 raiz3 sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)3^n

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