Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(y)=arccos (e^y)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de fcolon ymapsto arccosl(e^yr) usando a regra da cadeia. Vamos precisar de duas informações:
  • A derivada de arccos(u) em relação a u.
  • A derivada de e^y em relação a y.

Passo 2

Seja u(y)=e^y. A regra da cadeia diz que
ddyl[arccos(u(y))r] =ddul[arccos(u)r]|u=u(y)cdot u'(y)
Sabemos que
ddul[arccos(u)r] =-1raiz1-u^2, u'(y)=ddyl[e^yr]=e^y

Passo 3

Substituindo u=e^y e u'(y)=e^y na expressão da regra da cadeia, obtemos
f'(y) =-1raiz1-l(e^yr)^2;cdot e^y =-e^yraiz1-e^2y

Resposta

f'(y)=-e^yraiz1-e^2y

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